Случайная погрешность. Нормальному распределению случайных погрешностей

Мокров стандартизация и сертификация

Любые измерения всегда производятся с какими-то погрешностями, связанными с ограниченной точностью измерительных приборов, неправильным выбором, и погрешностью метода измерений, физиологией экспериментатора, особенностями измеряемых объектов, изменением условий измерения и т.д. Поэтому в задачу измерения входит нахождение не только самой величины, но и погрешности измерения, т.е. интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Например, при измерении отрезка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с можно сказать, что истинное значение его находится в интервале от с до

с. Таким образом, измеряемая величина всегда содержит в себе некоторую погрешность

, где и X – соответственно истинное и измеренное значения исследуемой величины. Величина

называется абсолютной погрешностью (ошибкой) измерения, а выражение

, характеризующее точность измерения, называется относительной погрешностью.

Вполне естественно стремление экспериментатора произвести всякое измерение с наибольшей достижимой точностью, однако такой подход не всегда целесообразен. Чем точнее мы хотим измерить ту ил иную величину, тем сложнее приборы мы должны использовать, тем больше времени потребуют эти измерения. Поэтому точность окончательного результата должна соответствовать цели проводимого эксперимента. Теория погрешностей дает рекомендации, как следует вести измерения и как обрабатывать результаты, чтобы величина погрешности была минимальной.

Все возникающие при измерениях погрешности обычно разделяют на три типа – систематические, случайные и промахи, или грубые ошибки.

Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью изготовления приборов (приборные погрешности), недостатками выбранного метода измерений, неточностью расчетной формулы, неправильной установкой прибора и т.д. Таким образом, систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Величина этой погрешности систематически повторяется либо изменяется по определенному закону. Некоторые систематические ошибки могут быть исключены (на практике этого всегда легко добиться) путем изменения метода измерений, введение поправок к показаниям приборов, учета постоянного влияния внешних факторов.

Хотя систематическая (приборная) погрешность при повторных измерениях дает отклонение измеряемой величины от истинного значения в одну сторону, мы никогда не знаем в какую именно. Поэтому приборная погрешность записывается с двойным знаком

Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин (изменением температуры, давления, сотрясения здания и т.д.), действия которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено. Случайные погрешности происходят также из-за несовершенства органов чувств экспериментатора. К случайным погрешностям относятся и погрешности обусловленные свойствами измеряемого объекта.

Исключить случайны погрешности отдельных измерений невозможно, но можно уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат путем проведения многократных измерений. Если случайная погрешность окажется значительно меньше приборной (систематической), то нет смысла дальше уменьшать величину случайной погрешности за счет увеличения числа измерений. Если же случайная погрешность больше приборной, то число измерений следует увеличить, чтобы уменьшить значение случайной погрешности и сделать ее меньше или одного порядка с погрешностью прибора.

Промахи, или грубые ошибки, - это неправильные отсчеты по прибору, неправильная запись отсчета и т.п. Как правило, промахи, обусловленные указанными причинами хорошо заметны, так как соответствующие им отсчеты резко отличаются от других отсчетов. Промахи должны быть устранены путем контрольных измерений. Таким образом, ширину интервала в котором лежат истинные значения измеряемых величин, будут определять только случайные и систематические погрешности.

2 . Оценка систематической (приборной) погрешности

При прямых измерениях значение измеряемой величины отсчитывается непосредственно по шкале измерительного прибора. Ошибка в отсчете может достигать нескольких десятых долей деления шкалы. Обычно при таких измерениях величину систематической погрешности считают равной половине цены деления шкалы измерительного прибора. Например, при измерении штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм величина приборной погрешности измерения принимают равной 0,025 мм.

Цифровые измерительные приборы дают значение измеряемых ими величин с погрешностью, равной значению одной единицы последнего разряда на шкале прибора. Так, если цифровой вольтметр показывает значение20,45 мВ, то абсолютная погрешность при измерении равна

мВ.

Систематические погрешности возникают и при использовании постоянных величин, определяемых из таблиц. В подобных случаях погрешность принимается равной половине последнего значащего разряда. Например, если в таблице значение плотности стали дается величиной, равной 7,9∙10 3 кг/м 3 , то абсолютная погрешность в этом случае равна

кг/м 3 .

Некоторые особенности в расчете приборных погрешностей электроизмерительных приборов будут рассмотрены ниже.

При определении систематической (приборной) погрешности косвенных измерений функциональной величины

используется формула

, (1)

где - приборные ошибки прямых измерений величины , - частные производные функции по переменной .

В качестве примера, получим формулу для расчета систематической погрешности при измерении объема цилиндра. Формула вычисления объема цилиндра имеет вид

Частные производные по переменным d и h будут равны

,

.

Таким образом, формула для определения абсолютной систематической погрешности при измерении объема цилиндра в соответствии с (2. ..) имеет следующий вид

где

и

приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра

3. Оценка случайной погрешности.

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Ля подавляющего большинства простых измерений достаточно хорошо выполняется так называемый нормальный закон случайных погрешностей (закон Гаусса) , выведенный из следующих эмпирических положений.

погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

при большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто,

чем больше величина случайной погрешности, тем меньше вероятность ее появления.

График нормального закона распределения Гаусса представлен на рис.1. Уравнение кривой имеет вид

, (2)

где

- функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки

, σ – средняя квадратичная ошибка.

Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений.

Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, неизвестно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического . Величина которой определяется по формуле

, (3)

где - результат i -го измерения; - среднее арифметическое полученных значений; n – число измерений.

Чем больше число измерений, тем меньше и тем больше оно приближается к σ. Если истинное значение измеряемой величины μ, ее среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений , а случайная абсолютная погрешность , то результат измерений запишется в виде

.

Интервал значений от

до

, в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называется доверительным интервалом. Поскольку является случайной величиной, то истинное значение попадает в доверительный интервал с вероятностью α, которая называется доверительной вероятностью, или надежностью измерений. Эта величина численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции. (см. рис.)

Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используется распределение вероятностей Стьюдента. Это распределение вероятностей случайной величины , называемой коэффициентом Стьюдента , дает значение доверительного интервала в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического .

. (4)

Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ 2 , а существенно зависит от числа опытов n . С увеличением числа опытов n распределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса.

Функция распределения табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n , и столбца, соответствующего доверительной вероятности α

Таблица 1.

Пользуясь данными таблицы, можно:

определить доверительный интервал, задаваясь определенной вероятностью;

выбрать доверительный интервал и определить доверительную вероятность.

При косвенных измерениях среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического значения функции вычисляют по формуле

. (5)

Доверительный интервал и доверительная вероятность определяются так же, как и в случае прямых измерений.

Оценка суммарной погрешности измерений. Запись окончательного результата.

Суммарную погрешность результата измерений величины Х будем определять как среднее квадратичное значение систематической и случайной погрешностей

, (6)

где δх – приборная погрешность, Δх – случайная погрешность.

В качестве Х может быть как непосредственно, так и косвенно измеряемая величина.

, α=…, Е=… (7)

Следует иметь в виду, что сами формулы теории ошибок справедливы для большого число измерений. Поэтому значение случайной, а следовательно, и суммарной погрешности определяется при малом n с большой ошибкой. При вычислении Δх при числе измерений

рекомендуется ограничиваться одной значащей цифрой, если она больше 3 и двумя, если первая значащая цифра меньше 3. Например, если Δх = 0,042, то отбрасываем 2 и пишем Δх =0,04, а если Δх =0,123, то пишем Δх =0,12.

Число разрядов результата и суммарной погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое погрешности должно быть одинаковым. Поэтому среднее арифметическое вычисляется вначале на один разряд больше, чем измерение, а при записи результата его значение уточняется до числа разрядов суммарной ошибки.

4. Методика расчета погрешностей измерений.

Погрешности прямых измерений

При обработке результатов прямых измерений рекомендуется принять следующий порядок выполнение операций.

. (8)

Определяется суммарная погрешность

Оценивается относительная погрешность результата измерений

Записывается окончательный результат в виде

, с α=… Е=…%.

5. Погрешность косвенных измерений

При оценке истинного значения косвенно измеряемой величины , являющейся функцией других независимых величин

, можно использовать два способа.

Первый способ используется, если величина y определяется при различных условиях опыта. В этом случае для каждого из значений вычисляется

, а затем определяется среднее арифметическое из всех значений y i

. (9)

Систематическая (приборная) погрешность находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле. Случайная погрешность в этом случае определяется как ошибка прямого измерения.

Второй способ применяется, если данная функция y определяется несколько раз при одних и тех же измерений. В этом случае величина рассчитывается по средним значениям . В нашем лабораторном практикуме чаще используется второй способ определения косвенно измеряемой величины y . Систематическая (приборная) погрешность, как и при первом способе, находится на основании известных приборных погрешностей всех измерений по формуле

Для нахождения случайной погрешности косвенного измерения вначале рассчитываются средние квадратичные ошибки среднего арифметического отдельных измерений. Затем находится средняя квадратичная ошибка величины y . Задание доверительной вероятности α, нахождение коэффициента Стьюдента , определение случайной и суммарной ошибок осуществляются так же, как и в случае прямых измерений. Аналогичным образом представляется результат всех расчетов в виде

, с α=… Е=…%.

6. Пример оформления лабораторной работы

Лабораторная работа №1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА ЦИЛИНДРА

Принадлежности: штангенциркуль с ценой деления 0,05 мм, микрометр с ценой деления 0,01 мм, цилиндрическое тело.

Цель работы: ознакомление с простейшими физическими измерениями, определение объема цилиндра, расчет погрешностей прямых и косвенных измерений.

Порядок выполнения работы

Провести не менее 5 раз измерения штангенциркулем диаметра цилиндра, а микрометром его высоту.

Расчетная формула для вычисления объема цилиндра

где d – диаметр цилиндра; h – высота.

Результаты измерений

Таблица 2.

Наличие случайных погрешностей в результате при повторении измерений в неизменных условиях эксперимента объясняется самой природой этих погрешностей. Строго говоря, условия не остаются неизменными и их колебания вызывают непостоянство результата, т.е. случайные погрешности всегда будут присутствовать в результате измерений.

Характером проявления случайной погрешности определяется и способ их учета. Учесть влияние случайных погрешностей на результат измерения можно только путем анализа всей совокупности случайных погрешностей.

Случайная погрешность считается случайной величиной, и поэтому ее оценивают методами математической статистики и теории вероятности. Наиболее полной характеристикой случайной погрешности является закон распределения, представляющий собой зависимость вероятности появления случайной погрешности от величины этой погрешности. Большинство результатов измерений содержит случайную погрешность, подчиняющуюся нормальному закону распределения:

где W (D) – плотность вероятности случайной погрешности отдельного измерения , это отклонение может быть вычислено для каждого измерения. Следует помнить, что сумма отклонений результата измерений от среднего значения равна нулю, а сумма их квадратов минимальна. Эти свойства используются при обработке результатов измерений для контроля правильности вычислений;

s – параметр, характеризующий степень случайного разброса результатов отдельных измерений относительно истинного значения Х0, называют средним квадратическим отклонением случайной величины измерения;

Математическое ожидание результатов наблюдений.

S – являются точечными оценками случайной погрешности.

При случайных погрешностях результат каждого измерения Х i будет отличаться от истинного значения Х0
измеряемой величины:

(4.6)

Эту разность называют случайной погрешностью отдельного измерения (результата наблюдения).

Истинное значение Х0 неизвестно, поэтому на практике его заменяют наиболее достоверным значением измеряемой величины, определяемым на основании экспериментальных данных.

Если проводить серию измерений исследуемой величины и определить среднее арифметическое значение, то оно является наиболее достоверным значением измеряемой величины. При вычислении среднего арифметического большого числа измерений погрешности отдельных измерений, имеющие разный знак, взаимно компенсируются.

(4.7)

где n – число измерений.

(4.8)

где xi – численный результат отдельного измерения;

n – число измерений.

Характер кривых, описываемых (4.5), показан на рисунке 4.1а для трёх значений s. Функция (4.5) графически изображается колоколообразной кривой, симметричной относительно ординат, асимптотически приближающейся к оси абсцисс. Максимум этой кривой получается в точке D=0, а величина этого максимума . Как видно из рисунка 4.1, чем меньше s, тем уже кривая и, следовательно, реже встречаются большие отклонения, т.е. тем точнее выполняются измерения.

Рисунок 4.1

Вероятность появления погрешности в пределах между D1 и D2
определяется площадью заштрихованного участка на рис. 4.1 б , т.е. определённым интегралом от функции W (D):

(4.9)

Значения интеграла вычислены для различных пределов и сведены в таблицы. Интеграл, вычисленный для пределов D1=–¥ и D2=+¥, равен единице, т. е. вероятность появления случайной погрешности в интервале от –¥ до +¥ равна единице.

Из таблиц, приведенных в математических справочниках, следует что:

(4.10)

Таким образом, с вероятностью 0,683 случайные погрешности измерения не выходят за пределы ±s. С вероятностью 0,997 случайная погрешность находится в пределах ±3s, т.е. только 3 измерения из 1000 могут дать погрешность, превышающую ±3s. Это соотношение называется законом трёх сигм.

Так как на практике число измерений не превышает нескольких десятков, то появление погрешности равной ±3s , маловероятно. Поэтому погрешность ±3s считается максимально возможной случайной погрешностью. Погрешности более ±3s считаются промахами и при обработке результатов измерений не учитываются.

В теории случайных погрешностей вводится также понятие о среднем квадратическом отклонении среднего арифметического (средняя квадратическая погрешность результата измерений)

(4.11)+D - доверительным интервалом. Обычно его выражают в долях средней квадратической погрешности

где t α(n) - табулированный коэффициент распределения Стъюдента, который зависит от доверительной вероятности a и числа измерений n, значения которого можно найти в математических справочниках.

Доверительную вероятность и доверительный интервал называют интервальными оценками.

Случайные погрешности и критерии их оценки.

Случайная погрешность - это погрешность, изменяющаяся случайным образом при повторном определении одной и той же физической величины с помощью одной и той же измерительной аппаратуры при неизменных внешних условиях. Случайные погрешности вызываются большим количеством факторов, воздействия которых столь незначительны, что их нельзя выделить и учесть в отдельности.

Случайные погрешности могут возникнуть из-за погрешности округления при отсчете показаний, нестабильности переходного сопротивления в контактах коммутирующих устройств, нестабильности напряжения источника питания, влияния электромагнитных полей пылинки, воздушные течения и других влияющих величин. Но истинное значение измеряемой величины заключено в интервале от минимального до максимального результатов измерения.

Случайную погрешность нельзя исключить в каждом из результатов измерений. Но с помощью многократных наблюдений, а также используя методы теории вероятности и математической статистики, можно учесть их влияние на оценку истинного значения измеряемой величины. Это позволяет определить значение измеряемой величины со значительно меньшей погрешностью, чем погрешности отдельных измерений (наблюдений).

Наиболее полной характеристикой случайной величины является закон ее распределения. Различают две формы описания закона распределения: интегральную и дифференциальную. В метрологии принято использовать, в основном, дифференциальную форму.

Дифференциальный закон распределения можно определить через построение гистограммы. Для этого необходимо произвести n независимых наблюдений. При этом каждое наблюдение, возможно, отличается от предыдущего, так как содержит случайную погрешность. Следует разбить интервал между наибольшим и наименьшим измеренными значениями на ряд равных интервалов шириной Δх. По результатам подсчетов строится график: на ось абсцисс наносятся значения результатов наблюдений и обозначаются границы интервалов, на ось ординат – относительная частота попаданий в интервал.

Если устремить число измерений к бесконечности, а интервал h - к нулю, то гистограмма переходит в пределе в непрерывную кривую, которая является кривой распределения погрешностей. При некоторых условиях, которые обычно выполняются при проведении измерений, эта кривая представляет собой график функции Гаусса (нормальное распределение), имеющей следующий вид:

Основными числовыми характеристиками случайной погрешности являются математическое ожидание М(Δ), дисперсия D и среднее квадратическое отклонение σ .

Дисперсия, т.е. средняя квадратическая погрешность отдельного измерения применяется лишь для оценки точности применяемого метода измерений. А средняя арифметическая погрешность обозначает оценку отклонения среднего арифметического отклонения от истинного значения искомой величины.

Чем больше число опытов, тем ближе значение среднего арифметического отклонения к истинному значению искомой величины.

Вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадет взаданный интервал, называется доверительной вероятностью, или коэффициентом доверия Р, а соответствующий интервал, определяемый величиной абсолютной погрешности – доверительным интервалом. Достоверность результата при данном количестве измерений можно увеличить, уменьшая его точность, т. е. расширяя доверительный интервал. Случайную погрешность рассчитывают по формуле

ε = ± t S(х), где ε – доверительные границы случайной погрешности результата измерений

t – коэффициент Стьюдента, определяемый по заданным значениям доверительной вероятности Р и числу измерений n.

Таким образом, для характеристики величины случайной погрешности необходимо задать два числа: саму погрешность и доверительную вероятность, позволяющую оценить степень надежности полученного результата. Необходимая степень надежности определяется спецификой производимых измерений. Доверительная вероятность должна быть, например, очень высокой при контроле размеров деталей самолетов и достаточно низкой при аналогичном контроле деталей ручной тележки. При большинстве обычных измерений можно ограничиться доверительной вероятностью 0,9 или 0,95, если не требуется более высокая степень надежности.

Вывод : случайные погрешности нельзя исключить полностью, но их влияние может быть уменьшено путем обработки результатов измерений.

Реально даже воздействие ограниченного числа возмущений приводит к нормальному распределению результатов измерений и их погрешностей. В настоящее время наиболее полно разработан математический аппарат именно для случайных величин, имеющих нормальное распределение. Если же предположение о нормальности распределения отвергается, то статистическая обработка наблюдений существенно усложняется и в таком случае невозможно рекомендовать общую методику статистической обработки наблюдений. Часто даже не известно, какая характеристика распределения может служить оценкой истинного значения измеряемой величины.

Выше приведено аналитическое выражение нормального распределения для случайной измеряемой величины х . Переход к нормальному распределению случайных погрешностей осуществляется переносом центра распределений в и откладывания по оси абсцисс погрешности

.

Нормальное распределение характеризуется двумя парамет-рами: математическим ожиданием m 1 и средним квадратическим отклонением σ.

При многократных измерениях несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой m 1 для группы из n наблюдений является среднее арифметическое :

Нужно сказать, что среднее арифметическое дает оценку математического ожидания результата наблюдений и может быть оценкой истинного (действительного) значения измеряемой величины только после исключения систематических погрешностей.

Оценка S среднего квадратического отклонения (СКО) дается формулой:

Эта оценка характеризует рассеяние единичных результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же величины около их среднего значения.

Другими оценками рассеяния результатов в ряду измерений являются размах (разница между наибольшим и наименьшим значением), модуль средней арифметической погрешности (арифметическая сумма погрешностей, деленная на число измерений) и доверительная граница погрешности (подробно рассматривается ниже).

СКО является наиболее удобной характеристикой погрешности в случае ее дальнейшего преобразования. Например, для нескольких некоррелированных слагаемых СКО суммы определяется по формуле:

Оценка S характеризует рассеяние единичных результатов наблюдений относительно среднего значения, то есть в случае, если мы за результат измерений примем отдельный исправленный результат наблюдений. Если же в качестве результата измерений принимается среднее арифметическое, то СКО этого среднего

определяется по формуле:

Нормальное распределение погрешностей имеет следующие свойства :

симметричность, т.е. погрешности, одинаковые по величине, но противоположные по знаку, встречаются одинаково часто;

математическое ожидание случайной погрешности равно нулю;

малые погрешности более вероятны, чем большие;

чем меньше , тем меньше рассеяние результатов наблюдений и больше вероятность малых погрешностей.

Другим распространенным в метрологии распределением случайной величины является равномерное распределение  распределение, при котором случайная величина принимает значения в пределах конечного интервала от х 1 до х 2 с постоянной плотностью вероятностей.

Дифференциальная функция равномерного распределения имеет вид:

f (x ) = с при х 1  x  х 2

f (x ) = 0 при х 2  x  х 1

При нормировке площади кривой распределения на единицу, получаем, что с(х 2 – х 1 ) = 1 и с = 1/ (х 2 – х 1 ).

Р

авномерное распределение характеризуется математичес-ким ожиданием

, дисперсией

или СКО.

Кроме рассмотренных примеров распределений случайных величин существуют и другие важные для практического использования распределения дискретных случайных величин, например, биномиальное распределение и распределение Пуассона . В настоящем курсе они не рассматриваются.

4.5.5 Доверительные интервалы

Приведенные выше оценки параметров распределения случайных величин в виде среднего арифметического для оценки математического ожидания и СКО для оценки дисперсии называются точечными оценками , так как они выражаются одним числом. Однако в некоторых случаях знание точечной оценки является недостаточным. Наиболее корректной и наглядной оценкой случайной погрешности измерений является оценка с помощью доверительных интервалов.

Симметричный интервал в границами ± Δх(Р) называется доверительным интервалом случайной погрешности с довери-тельной вероятностью Р , если площадь кривой распределения между абсциссами –Δх и +Δх составляет Р -ю часть всей площади под кривой плотности распределения вероятностей. При нормировке всей площади на единицу Р представляет часть этой площади в долях единицы (или в процентах). Другими словами, в интервале от -  х(Р ) до +  х(Р ) с заданной вероятностью Р встречаются Р 100% всех возможных значений случайной погрешности.

Доверительный интервал для нормального распределения находится по формуле:

где коэффициент t зависит от доверительной вероятности Р .

Для нормального распределения существуют следующие соотношения между доверительными интервалами и доверительной вероятностью: 1 (Р=0,68), 2 (Р= 0,95), 3 (Р= 0,997), 4 (Р=0,999).

Доверительные вероятности для выражения результатов измерений и погрешностей в различных областях науки и техники принимаются равными. Так, в технических измерениях принята доверительная вероятность 0,95. Лишь для особо точных и ответственных измерений принимают более высокие доверительные вероятности. В метрологии используют, как правило, доверитель-ные вероятности 0,97, в исключительных случаях 0,99. Необходимо отметить, что точность измерений должна соответствовать поставленной измерительной задаче. Излишняя точность ведет к неоправданному расходу средств. Недостаточная точность измерений может привести к принятию по его результатам ошибочных решений с самыми непредсказуемыми последствиями, вплоть до серьезных материальных потерь или катастроф.

При проведении многократных измерений величины х , подчиняющейся нормальному распределению, доверительный интервал может быть построен для любой доверительной вероятности по формуле:

где t q – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа наблюдений n и выбранной доверительной вероятности Р . Он определяется с помощью таблицы q -процентных точек распределения Стьюдента, которая имеет два параметра: k = n – 1 и q = 1 – P ; – оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического.

Доверительный интервал для погрешности  х(Р ) позволяет построить доверительный интервал для истинного (действи-тельного) значения измеряемой величины , оценкой которой является среднее арифметическое . Истинное значение измеряе-мой величины находится с доверительной вероятностью Р внутри интервала: . Доверительный интервал позволяет выяснить, насколько может измениться полученная в результате данной серии измерений оценка измеряемой величины при проведении повторной серии измерений в тех же условиях. Необходимо отметить, что доверительные интервалы строят для неслучайных величин , значения которых неизвестны. Такими являются истинное значение измеряемой величины и средние квадратические отклонения. В то же время оценки этих величин, получаемые в результате обработки данных наблюдений, являются случайными величинами.

Недостатком доверительных интервалов при оценке случай-ных погрешностей является то, что при произвольно выбираемых доверительных вероятностях нельзя суммировать несколько погреш-ностей, т.к. доверительный интервал суммы не равен сумме довери-тельных интервалов. Суммируются дисперсии независимых случай-ных величин: D  = D i . То есть, для возможности суммирования составляющие случайной погрешности должны быть представлены своими СКО, а не предельными или доверительными погрешностя-ми.

4.6 Систематические погрешности

Обнаружение и исключение систематических погрешностей представляет собой сложную задачу, требующую глубокого анализа всей совокупности результатов наблюдений, используемых средств, методов и условий измерений. При этом необходимо отметить, что устранение систематических погрешностей осуществляется не путем математической обработки результатов наблюдений, а применением соответствующих методов измерений . В частности, проведением измерений различными независимыми методами или выполнением измерений с параллельным применением более точных средств измерений.

Существуют некоторые специальные приемы проведения измерений , которые позволяют исключить части систематических погрешностей:

Исключение самого источника погрешностей.

Замещение измеряемой величины равновеликой ей известной величиной так, чтобы при этом в состоянии и действии всех используемых средств измерений не происходило никаких изменений. Таким путем может быть исключена погрешность компаратора.

Компенсация погрешности по знаку путем проведения измерений в прямом и обратных направлениях одним и тем же прибором. Например, определяя значение измеряемой величины при подходе к определенной точке шкалы слева и справа от нее и вычисляя среднее значение.

Наблюдения через период изменения влияющей величины. Это позволяет исключить погрешности, изменяющиеся по периодическому закону.

Измерения одной величины несколькими независимыми методами с последующим вычислением среднего взвешенного значения измеряемой величины.

Измерения одной величины несколькими приборами с последующим вычислением среднего арифметического из показаний всех приборов.

Систематические погрешности устраняются путем введения поправок, которые находятся разными путями и представляют собой значения абсолютных погрешностей, которые вычитаются из результата измерений. Так, инструментальные составляющие систематической погрешности находят по результатам поверки средств измерений.

Поправки для учета влияющих величин вычисляют с использованием известных функций или коэффициентов влияния по результатам вспомогательных измерений этих величин. Но введение поправок не исключает полностью систематические погрешности, так как остаются, например, погрешности определения поправок. Эти неисключенные части представляют собой неисключенные остатки систематических погрешностей (НСП).

Так как полностью исключить систематические погрешности невозможно, то возникает задача оценивания границ или других параметров этих погрешностей. Как правило, систематическая погрешность результата измерения оценивается по ее состав-ляющим . Эти составляющие бывают либо известны заранее, либо могут быть определены с помощью вспомогательных данных, например, вычислены для каждой из влияющих величин. В качестве их могут выступать и погрешности определения поправок. Неисключенная систематическая погрешность характеризуется границей каждой ее составляющей.

В связи с этим возникает задача суммирования составляю-щих систематической погрешности. При этом составляющие должны рассматриваться как случайные величины и суммироваться методами теории вероятностей, что предполагает знание функции распределения этих составляющих. Однако, закон распределения элементарных составляющих погрешности, как правило, неизвестен. Поэтому при суммировании руководствуются следующим практи-ческим правилом , основанном на здравом смысле и интуиции:

если известна оценка границ погрешности, то ее распределение следует считать равномерным;

если же известна оценка СКО погрешности, распределение следует считать нормальным .

Применение этого правила позволяет статистически суммировать составляющие систематической погрешности. В соответствии с ним при отсутствии дополнительной информации неисключенные остатки систематической погрешности рассматриваются как случайные величины, имеющие равномерное распределение .

Границы неисключенной систематической погрешности  при числе слагаемых большим или равным 4 вычисляются по формуле:

где - граница i -ой составляющей погрешности; k - коэффициент, определяемый доверительной вероятностью. При Р = 0,95 k = 1.1, при Р = 0,99 k = 1,4.

При числе слагаемых меньших или равных 3 значения суммируются арифметически по модулю. Если же суммировать НСП арифметически при любом числе слагаемых, то полученная оценка будет хотя и надежной, но завышенной.

Доверительную вероятность для вычисления границ неисключенной систематической погрешности принимают той же, что при вычислении доверительных границ случайной погрешности.

4.7 Методы обработки результатов прямых измерений

Основные положения методов обработки результатов прямых измерений с многократными наблюдениями определены в ГОСТ 8.207-76.

За результат измерения принимают среднее арифмети-ческое данных n наблюдений, из которых исключены систематичес-кие погрешности. При этом предполагается, что результаты наблю-дений после исключения из них систематических погрешностей принадлежат нормальному распределению. Для вычисления резуль-тата измерения следует из каждого наблюдения исключить система-тическую погрешность и получить в итоге исправленный результат i –го наблюдения. Затем вычисляется среднее арифметическое этих исправленных результатов, которое принимается за результат измерения. Среднее арифметическое является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой измеряемой величины при нормальном распределении данных наблюдений.

Следует отметить, что иногда в литературе вместо термина результат наблюдения иногда применяют термин результат отдельного измерения , из которого исключены систематические погрешности. При этом за результат измерения в данной серии из нескольких измерений понимают среднее арифметическое значение. Это не меняет сути излагаемых ниже процедур обработки результатов.

При статистической обработке групп результатов наблюдений следует выполнять следующие операции :

Исключить из каждого наблюдения известную систематическую погрешность и получить исправленный результат отдельного наблюдения x .

Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения:

группы наблюдений:

Проверить наличие грубых погрешностей – нет ли значений

, которые выходят за пределы 3S . При нормальном законе распределений с вероятностью, практически равной 1 (0,997), ни одно из значений этой разности не должно выйти за указанные пределы. Если они имеются, то следует исключить из рассмотрения соответствующие значения и заново повторить вычисления и оценку S .

арифметического)

Проверить гипотезу о нормальности распределения результатов наблюдений.

Существуют различные приближенные методы проверки нормальности распределения результатов наблюдений. Некоторые из них приведены в ГОСТ 8.207-76. При числе наблюдений меньше 15 в соответствии с этим ГОСТ принадлежность их к нормальному распределению не проверяют. Доверительные границы случайной погрешности определяют лишь в том случае, если заранее известно, что результаты наблюдений принадлежат этому распределению. Приближенно о характере распределения можно судить, построив гистограмму результатов наблюдений. Математические методы проверки нормальности распределения рассматриваются в специальной литературе.

Вычислить доверительные границы  случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения

где t q - коэффициент Стьюдента, зависящий от числа наблюдений и доверительной вероятности. Например, при n = 14, P = 0,95 t q = 2,16. Значения этого коэффициента приведены в приложении к указанному стандарту.

Если

, то НСП по сравнению со случайными погрешностя-ми пренебрегают, и граница погрешности результата  =  .. Если

 8, то случайной погрешностью можно пренебречь и граница погрешности результата  = Θ. Если оба неравенства не выполняются, то границу погрешности результата находят путем построения композиции распределений случайных погрешностей и НСП по формуле:

, где К – коэффициент, зависящий от соотношения случайной погрешности и НСП; S  - оценка суммарного СКО результата измерения. Оценку суммарного СКО вычисляют по формуле:

Коэффициент К вычисляют по эмпирической формуле:

Доверительная вероятность для вычисления и должна быть одной и той же.

Погрешность от применения последней формулы для композиции равномерного (для НСП) и нормального (для случайной погрешности) распределений достигает 12 % при доверительной вероятности 0,99.

9. Записать результат измерений. Написание результата измерений предусмотрено в двух вариантах, так как следует различать измерения, когда получение значения измеряемой величины является конечной целью, и измерения, результаты которых будут использоваться для дальнейших вычислений или анализа.

В

первом случае достаточно знать общую погрешность результата измерения и при симметричной доверительной погреш-ности результаты измерений представляют в форме: , где

где – результат измерения.

Во втором случае должны быть известны характеристики составляющих погрешности измерения – оценка среднего квадратического отклонения результата измерения , границы НСП , число выполненных наблюдений . При отсутствии данных о виде функций распределения составляющих погрешности результата и необходимости дальнейшей обработки результатов или анализа погрешностей, результаты измерений представляют в форме:

Если границы НСП вычислены в соответствии с п.4.6, то дополнительно указывают доверительную вероятность Р.

Оценки , и производные от их величины могут быть выражены как в абсолютной форме, то есть в единицах измеряемой величины, так и относительной, то есть как отношение абсолютного значения данной величины к результату измерения. При этом вычисления по формулам настоящего раздела следует проводить с использованием величин, выраженных только в абсолютной или в относительной форме.

4.8 Однократные измерения

В технике большинство измерений являются однократ-ными , т.е. для получения результата измерения используется одно показание прибора. К такому виду относятся, например, измерения при проведении индивидуального дозиметрического контроля, при которых часто используется один детектор. Результат однократного измерения включает в себя все присущие ему погрешности (инструментальную, методическую, субъективную), в каждой из которых могут быть как систематические, так и случайные составляющие. Если при этом необходимо точно оценить погрешность результата измерений, то следует выявить и оценить все составляющие погрешностей и просуммировать их.

Случайная составляющая погрешности не может быть рассчитана по результатам измерения, хотя она неявно присутствует в нем. В качестве оценки случайной составляющей погрешности может быть использован, например, коэффициент вариации , определяемый предварительно в процессе многократных измерений при изучении воспроизводимости показаний данного прибора. Коэффициент вариации находится как отношение оценки среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому показа-ний прибора при многократных измерениях. В некоторых случаях случайная погрешность может определяться доверительными границами.

Оценку систематических погрешностей можно получить по характеристикам используемого прибора (по паспортным данным или из свидетельства о поверке) и метода измерения (путем его анализа). Из документации на прибор можно оценить и учесть дополнительные систематические погрешности.

Основные этапы оценки погрешности при однократных измерениях с точным оцениванием погрешности следующие:

Учитывается систематическая погрешность прибора.

Оценивается систематическая погрешность метода измерений.

Оцениваются по документации на прибор дополнительные систематические погрешности, обусловленные влияющими величинами.

Из отсчета прибора исключаются все известные система-тические погрешности (в соответствии с пп. 1, 2, 3) и опреде-ляется исправленный результат измерения, который содержит НСП и случайные составляющие погрешности.

Оцениваются границы  i составляющих НСП, распределение которых принимается равномерным. Ими могут быть, например, погрешности эталонов при поверке СИ, погрешности поправок и т.п. После этого определяются границы  суммарной НСП по приведенным выше формулам.

Предварительно перед использованием прибора определяется коэффициент вариации  оценка случайной погрешности, которая используется при последующих однократных измерениях с прибором.

Сопоставляются оценки НСП и случайной погрешности по критериям предыдущего раздела и при возможности пренебрежения какой-либо из них определяются границы погрешности результата  .

Если необходимо учитывать обе составляющие, то в качестве границы погрешности результата измерения  принимается суммарная средняя квадратическая погрешность S  , , вычисляемая по формуле раздела 4.7 с определением СКО результата измерений и полуэмпирического коэффициента К. Для исключения грубых погрешностей однократное измерение следует повторять 2-3 раза и за результат принимать среднее арифметическое.

На практике часто встречаются измерения, для которых нет необходимости точно оценивать погрешность. В таких измерениях в качестве результата принимают значение отсчета х , а для оценивания погрешности измерения используются предел допускаемой основной погрешности прибора  О самообследовании основной образовательной программы по стандартизации , метрологии и сертификации постановляет: 1. Принять Общероссийский... N 181-ст 10358 4 Аппаратчик мокрой классификации 3 - 4 24 8159 ... 20321 2 Биолог 2 2211 20324 6 Биофизик 2 2212 20327 5 Биохимик 2 2212 ...

№ измерения

Учебное пособие

Человека “Дубна” Кафедра “Биофизика ” Мокров Ю.В. МЕТРОЛОГИЯ, СТАНДАРТИЗАЦИЯ И СЕРТИФИКАЦИЯ Учебное пособие Дубна, 2007 ... ТЕХНИЧЕСКОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ Система нормирования в области стандартизации и сертификации продукции, процессов производства и услуг...

3. СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ.

3.1. Понятие случайной погрешности.

При проведении повторных измерений постоянной физической величины в одинаковых условиях получают результаты измерений, некоторые из которых иногда совпадают друг с другом, но зачастую большинство из них хотя бы незначительно отличаются друг от друга. Причем, расхождения в результатах измерений оказываются хаотическими и не носят систематический характер, что позволяет предположить наличие в результатах измерений случайных погрешностей. Основой таких предположений является следующее:

а) погрешность измерения возникает в результате одновременного воздействия на процесс измерения (объект измерения, средства измерений, оператора, выполняющего измерения, и т.д.) нескольких (многих) источников возмущений. Каждый из источников сам по себе может оказывать на результат измерения незначительное, незаметное влияние; но суммарное воздействие всех (или нескольких) источников может оказаться ощутимым и привести к заметному отклонению его от истинного значения измеряемой физической величины;

б) в любой момент времени указанные источники проявляют себя по разному, действуют независимо друг от друга, без закономерной связи между собой. Такой характер их воздействий приводит к тому, что заметные расхождения в результатах отдельных измерений оказываются различными по размеру и знаку, изменяются хаотически без закономерной связи с предыдущими и последующими, вследствие чего не поддаются непосредственному учету.

Сказанное выше и дает основание говорить о наличии случайных погрешностей в результатах измерений.

Теория вероятностей дает математические методы изучения свойств случайных событий в больших совокупностях. Развитие метрологии и измерительной техники показало, что математический аппарат теории вероятностей и математической статистики полностью соответствует задаче изучения случайных погрешностей измерений; во многих случаях получаемые с его помощью результаты хорошо согласуются с опытными данными измерений. Поэтому он является теоретической основой изучения и анализа случайных погрешностей.

Теория вероятностей называет случайным такое событие, которое при осуществлении определенного комплекса условий может произойти или не произойти. Применяя это определение к области измерений можно сказать, что при проведении повторных наблюдений некоторой физической величины в одинаковых условиях каждая из возможных незначительных причин случайных изменений результатов может или появиться или не появиться. Как следствие, погрешности оказываются непредсказуемыми как по размеру, так и по знаку. Они определяются сложной совокупностью причин, трудно поддающихся анализу.

Исходя из сказанного выше, можно дать следующее определение.

Случайные погрешности, это погрешности: а) изменяющиеся от измерения к измерению; б) не поддающиеся непосредственному учету вследствие их хаотического изменения; в) обусловлены они одновременным воздействием на результат измерения ряда различных, независимых друг от друга факторов.

Присутствие случайных погрешностей, в отличие от систематических, легко обнаруживается при повторных измерениях в виде некоторого разброса результатов измерений.

Таким образом, результат измерений может содержать два вида погрешностей - систематические и случайные (в том числе - грубые погрешности или промахи). Оба вида погрешностей могут проявляться одновременно в результате измерения и погрешность измерения можно представить в виде суммы (а точнее, объединения) двух составляющих:

где  S - систематическая, - случайная погрешность.

Случайные погрешности наиболее полно могут быть описаны с помощью закона распределения, в частности - интегральной или дифференциальной функции распределения вероятностей. Случайные погрешности относятся к непрерывным случайным величинам, т.е. они могут принимать нечетное множество значений. Когда говорят о появлении тех или иных случайных погрешностей, имеют в виду вероятность того, что погрешность либо меньше некоторого значения  1

P( 1)=F( 1),

либо лежит в интервале значений  1 ...  2

P( 1  2)=F( 2)–F( 1)/

Функция распределения F() является универсальным способом описания поведения случайных погрешностей. Однако для ее определения требуется проведение кропотливых и обширных экспериментальных и вычислительных работ. К такому способу описания случайных погрешностей в метрологии прибегают только при исследовании принципиально новых СИ.

В технических измерениях задача обработки результатов измерений формулируется следующим образом: а) необходимо определить путем статистической обработки полученного экспериментально ряда результатов наблюдений, который редко бывает большим, оценки параметров функции распределения ряда; б) вид функции распределения ряда, как правило, считается известным из некоторых практических соображений (обычно - нормальное распределение); в) при обработке достаточно получить оценку мат. ожидания (оценку истинного значения ФВ) и оценку разброса (дисперсии), характеризующую плотность группировки результатов наблюдений вокруг мат. ожидания (числовую характеристику случайной погрешности).

3.2. Нормальное распределение случайных погрешностей. Параметры распределения.

Большинство встречающихся на практике случайных величин распределено по нормальному закону (закону Гаусса). К числу таких случайных величин относится большая часть случайных погрешностей измерений. Плотность нормального распределения для случайной величины Х описывается уравнением:

где: m x =М[Х] - математическое ожидание случайной величины; - дисперсия.

Нормальное распределение случайной величины Х полностью задается двумя характеристиками - m x и  2 , которые называют параметрами нормального распределения.

Математическое ожидание случайной величины - это наиболее вероятное ее значение, т.е. такое значение вокруг которого группируются результаты отдельных наблюдений. Если наблюдается нормальное распределение случайных погрешностей измерений, то их математическое ожидание равно нулю. Если же рассматривать нормальное распределение результатов наблюдений, то их математическое ожидание соответствует истинному значению измеряемой физической величины. Последнее справедливо в случае, если систематические погрешности полностью исключены.

Мерой рассеяния значений случайной погрешности служит дисперсия

, которая для случайной непрерывной величины (случайной погрешности), как известно, определяется выражением:

где -функция плотности вероятности случайной погрешности.

Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой физической величины, поэтому с точки зрения размерности она не совсем удобна в качестве характеристики рассеивания (а значит и случайной погрешности). На практике в качестве последней чаще используют положительное значение корня квадратного из дисперсии - среднее квадратическое отклонение (СКО) результатов наблюдений:

СКО соответствует характерной точке нормального распределения: вероятность того, что случайная погрешность измерения не выйдет за пределы  составляет

т.е. вероятность попадания случайной погрешности в интервал с границами  в два раза больше, чем вне этого интервала.

Нормальное распределение следует рассматривать как теоретическую основу для изучения случайных погрешностей и их влияния на результат измерения. Широкое применение нормального распределения в практике измерений объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей. Она утверждает, что распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдений формируются под воздействием большого числа независимых факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное влияние по сравнению с суммарным влиянием всех остальных (формулировка теоремы дана в применении к случайным погрешностям).

Иногда в практике измерений используется равномерное распределение, описываемое:

Для него

.

3.3. Точечные оценки истинного значения ФВ и СКО, получаемые на основании ограниченного ряда наблюдений.

Повторив несколько раз наблюдения, мы получим ряд числовых значений измеряемой величины. Эти значения большей частью отличаются одно от другого, но если измерения проводились в одинаковых условиях и с одинаковой тщательностью, то все заслуживают одинакового доверия. Возникает вопрос, как на основании полученной в эксперименте группы результатов наблюдений оценить истинное значение измеряемой ФВ, т.е. как получить результат измерения, и как оценить его точность, т.е. меру приближения к истинному значению. Эта задача является частным случаем задачи нахождения статистических оценок параметров функции распределения случайной величины на основании выборки - ряда значений, полученных в n независимых опытах. Поскольку результаты наблюдений обычно распределены нормально, то оцениваемыми параметрами, как правило, являются МО и СКО, которые входят в выражения для дифференциальных функций нормального распределения случайных погрешностей и результатов наблюдений.

При обработке результатов наблюдений желательно получать оценку «параметра», которая выражается одним числом. Такую оценку называют точечной. Любая точечная оценка, полученная на основании опытных данных, является их функцией и представляет собой случайную величину, распределение которой зависит от распределения исходной случайной величины (результатов наблюдений) и числа опытов n . К точечным оценкам предъявляется ряд требований, определяющих их пригодность для описания параметров:

Оценка должна быть состоятельной, т.е. при увеличении n она должна приближаться к значению оцениваемого параметра:

(гдеА – оцениваемый параметр, - оценка параметра);

Оценка должна быть несмещенной, т.е. ее МО должно быть равно оцениваемому параметру: М[]=А;

Оценка должна быть эффективной, т.е. ее дисперсия должна быть меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра (т.е. минимальна): D[]=min .

Существуют несколько методов определения оценок. Наиболее распространен метод максимального правдоподобия, теоретически обоснованный математиком Р. Фишером. Получаемые с помощью этого метода оценки называют оценками максимального правдоподобия. Основное достоинство оценок максимального правдоподобия заключается в том, что они являются асимптотически (при n) несмещенными, асимптотически эффективными, асимптотически нормально распределенными.

Для наиболее часто встречающегося на практике нормального распределения результатов наблюдений оценкой максимального правдоподобия для истинного значения ФВ (т.е. для мат.ожидания) является среднее арифметическое результатов отдельных наблюдений, а оценкой дисперсии - среднее значение квадратов отклонений результатов наблюдений от среднего арифметического:

;

Оценка СКО результатов наблюдений определяется следующим образом:

и характеризует в среднем точность любого отдельного результата наблюдения в серии результатов.

*Среднее значение бесконечно большого числа наблюдений (n) стремится к истинному значению измеряемой ФВ. Практически среднее значение, как правило, определяется на основании конечного числа наблюдений. Поэтому оно отличается от истинного значения ФВ на величину

, которая является случайной погрешностью среднего значения:

При увеличении числа наблюдений значение погрешности среднего арифметического уменьшается и при n  погрешность

.

В мат. статистике установлено, что:

а) случайные погрешности средних значений подчиняются нормальному закону распределения вероятностей, если случайные погрешности результатов отдельных наблюдений распределены нормально. Т.е. если результаты наблюдений распределены нормально, то и средние значения результатов наблюдений распределены нормально;

б) дисперсия средних значений результатов наблюдений меньше дисперсии результатов отдельных наблюдений.

При этом теория вероятностей даёт следующее соотношение между дисперсией результатов наблюдений и дисперсией средних значений результатов наблюдений

:

n - число наблюдений.

Для средних квадратических отклонений справедливо следующее соотношение:

где σ – СКО результатов наблюдений; σ() – СКО среднего значения (СКО результата измерения).

Для статистических оценок СКО получаем:

и

.

Вывод: СКО результата измерения σ() при увеличении числа наблюдений в «n » раз теоретически уменьшается в

раз.

Таким образом, СКО среднего из «n » наблюдений в

раз меньше СКО результатов наблюдений. Иными словами, если за результат измерения принять результат единичного наблюдения, то случайную погрешность такой оценки будет характеризовать СКО «σ», а если усреднить результаты наблюдений и принять среднее по «n » наблюдениям за оценку измеряемой величины, то случайную погрешность такой оценки будет характеризовать СКО «σ()», т.е. в

раз меньшее.

Вывод: хоть исключить случайные погрешности совсем нельзя, можно уменьшить их влияние на результат измерения. Для этого необходимо выполнить серию наблюдений; причем, чем меньшее значение погрешности допустимо оставить неисключенной, тем больше должна быть эта серия. Однако необходимо четко понимать, что если случайная погрешность, полученная для серии наблюдений, окажется значительно меньше погрешности, определяемой классом точности прибора (т.е. инструментальной), нет смысла еще уменьшать значение случайной составляющей погрешности: все равно результат измерений не станет от этого точнее. Если же случайная погрешность больше инструментальной, следует произвести ряд (серию) наблюдений, чтобы уменьшить случайную погрешность и сделать ее меньше или хотя бы одного порядка с погрешностью прибора.

Итог измерений с помощью точечных оценок записывается в виде:

Что уже позволяет сделать выводы относительно точности измерений.

3.4. Оценка результатов измерений с помощью интервалов.

Представление результата измерения с использованием точечных оценок является не единственным способом записи итога измерений. Его целесообразно применять, если полученный результат многократного измерения планируется использовать для последующих расчетов или для сравнения с другими результатами измерений. Если же результат измерения окончателен, его целесообразно предоставлять в виде интервальной оценки, которую характеризует размер доверительного интервала, накрывающий действительное значение измеряемой величины с заданной (доверительной) вероятностью Р.

В теории вероятностей отмечается, что смысл оценки параметров функции распределения с помощью интервалов заключается в нахождении размеров интервалов, называемых доверительными, в пределах которых с определенными (доверительными) вероятностями находятся истинные значения оцениваемых параметров функции распределения.

Ранее, говоря о характеристиках нормального распределения, мы отмечали, что вероятность появления случайной погрешности, не превышающей значения ±, равна 2/3. В этом случае + и – следует рассматривать как границы интервала, в пределах которого с вероятностью Р=2/3 лежат значения случайных погрешностей, а значит и истинное значение измеряемой ФВ. Заданными могут быть любые границы интервала; следовательно, необходимо определить соответствующую им вероятность. Может решаться и обратная задача: по заданной вероятности определить границы доверительного интервала.

Доверительный интервал (рано, как мат. ожидание и дисперсия или СКО) - величина неслучайная и его ширину можно рассматривать в качестве допустимого значения погрешности измерения величины Х с доверительной вероятностью Р. Ясно, что чем больше размер (ширина) доверительного интервала, тем с большей вероятностью попадает в него истинное значение измеряемой ФB - это с одной стороны. С другой стороны, чем больше разброс результатов наблюдений, характеризуемый дисперсией, тем меньше доверительная вероятность при одном и том же размере доверительного интервала. Эти два принципиальных положения положены в основу определения ширины доверительных интервалов.

Предположим, что распределение результатов наблюдений нормально, известно СКО результатов наблюдений , систематические погрешности из результатов наблюдений исключены, т.е. погрешность результата измерения определяет только случайная составляющая. В теории вероятностей доказано, что этом случае:

P[(X–t p )Q(X+t p )]=2Ф(t p) – 1.

Это означает, что истинное значение измеряемой ФВ с доверительной вероятностью P, равной (2Ф(t p)–1), находится между границами доверительного интервала [(X–t p ); (X+t p )], где Ф(t p) - некоторое значение интегральной функции нормированного нормального распределения; Х - результат любого из наблюдений.

Половина ширины доверительного интервала -  = t p  - называется доверительной границей случайного отклонения результатов наблюдений, соответствующей доверительной вероятности Р. Для нахождения значения «» при заданной доверительной вероятности Р по таблицам находят значение коэффициента Стьюдента t p , как функцию доверительной вероятности Р, и рассчитывают доверительное отклонение  = t p  при известном значении СКО .

Проведение измерений с многократными наблюдениями позволяет значительно сократить ширину доверительного интервала. Действительно, если результаты наблюдений x i (i=1, 2, 3, ..., n) распределены нормально, то распределены нормально величины «x i /n» и среднее арифметическое , являющееся их суммой. Поэтому справедливо следующее равенство:

P[(–t p ) Q  (+t p )]=2Ф(t p)–1.

где

- СКО среднего арифметического, а коэффициента Стьюдента t p определяется заданной доверительной вероятностью Р.

Полученный доверительный интервал [(–t p ); (+t p )], построенный с помощью среднего арифметического из n независимых повторных наблюдений, в

раз короче доверительного интервала, вычисленного по результату одного наблюдения, хотя доверительная вероятность для них одинакова. Это говорит о том, что сходимость измерений и их точность растет пропорционально корню квадратному из числа наблюдений.

Половина ширины этого интервала

называется доверительной границей погрешности результата измерений.

Итог измерений с помощью интервалов записывается в следующем виде:

….

Запись результата измерений с помощью интервальных оценок ясно указывает, что итог измерений не есть одно определенное число; в результате измерений мы получаем «полосу значений измеряемой величины» с несколько расплывчатыми границами, определяемыми принятой доверительной вероятностью.

3.5 Оценка результатов при малом числе наблюдений «n» и неизвестной дисперсии «».

Вычисляемая по отклонениям от среднего арифметического оценка СКО «S» является лишь приближенным значением истинного СКО «

», т.е. некоторым приближением к нему. Определение размера доверительного интервала по заданной доверительной вероятности «Р» и оценке СКО «S» (или наоборот - доверительной вероятности «Р» для заданного размера доверительного интервала) оказывается тем менее надежным, чем меньше число наблюдений в серии. Стьюдент указал на возможность при малом числе наблюдений определять доверительную вероятность (или размер доверительного интервала) для среднего арифметического в тех случаях, когда неизвестно значение истинного СКО «», а известна оценка СКО «S». В этом случае значение коэффициента Стьюдента t р следует определять в зависимости от числа наблюдений «n » и принятой доверительной вероятности «Р». Для практического применения служат специальные таблицы, где даны значения t р для различных «Р» и «n » (иногда в таблице вместо доверительной вероятности «Р» указывается «уровень значимости», равный «1-Р»).

Приклад 1.

Електронним вольтметром на діапазоні (0,2...2) В виконано багаторазове вимірювання відомої е.р.с. джерела опорної напруги Е 0 = 1,260 В. Шляхом подальшої статистичної обробки отриманих результатів потрібно:

1) оцінити результат багаторазового вимірювання (); у якості результатів спостережень застосувати наступні (грубі похибки з результатів спостережень виключені):

2) визначити поправку, яку слід внести в результати вимірювання – П u ;

3) оцінити середнє квадратичне відхилення (СКВ) випадкового розсіювання результатів спостережень – та СКВ результату багаторазового вимірювання (середнього арифметичного результатів спостережень) -

;

4) оцінити інструментальну складову похибки вимірювання (абсолютну), обумовлену класом точності застосованого вольтметру –

;межу відносної похибки вольтметру, що припускається, визначити (у відсотках) за формулою:

;

5) оцінити довірчу межу абсолютної невиключеної систематичної похибки (НСП) результату вимірювання -

;

6) оцінити підсумкову похибку результату багаторазового вимірювання з урахуванням обох складових – випадкової та НСП.

Розв’язання прикладу.

1) Результат багаторазового вимірювання визначаємо за наступною формулою, вважаючи розподіл результатів спостережень нормальним:

В.

2) Визначаємо різницю результату вимірювання та напруги Е 0 ; цю різницю за певних умов (дивись далі) можна вважати систематичною складовою похибки результатів спостережень.