Характеризует зависимость между количеством используемых ресурсов () и максимально возможным объемом выпуска, который может быть достигнут при условии, что все имеющиеся ресурсы используются наиболее рациональным образом.
Производственная функция обладает следующими свойствами:
1. Существует предел увеличения производства, который может быть достигнут при увеличении одного ресурса и постоянстве прочих ресурсов. Если, например, в сельском хозяйстве увеличивать количество труда при постоянных количествах капитала и земли, то рано или поздно наступает момент, когда выпуск перестает расти.
2. Ресурсы дополняют друг друга, но в определенных пределах возможна и их взаимозаменяемость без сокращения выпуска. Ручной труд, например, может заменяться использованием большего количества машин, и наоборот.
3. Чем длиннее временной период, тем большее количество ресурсов может быть пересмотрено. В этой связи различают мгновенный, короткий и длительный периоды. Мгновенный период — период, когда все ресурсы являются фиксированными. Короткий период — период, когда, по крайней мере, один ресурс является фиксированным. Длительный период - период, когда все ресурсы являются переменными.
Обычно в микроэкономике анализируется двухфакторная производственная функция, отражающая зависимость выпуска (q) от количества используемых труда () и капитала (). Напомним, что под капиталом понимаются средства производства, т.е. количество машин и оборудования, используемое в производстве и измеряемое в машино-часах (тема 2, п. 2.2). В свою очередь количество труда измеряется в человеко-часах.
Как правило, рассматриваемая производственная функция выглядит так:
A, α, β — заданные параметры. Параметр А — это коэффициент совокупной производительности факторов производства. Он отражает влияние технического прогресса на производство: если производитель внедряет передовые технологии, величина А возрастает, т.е. выпуск увеличивается при прежних количествах труда и капитала. Параметры α и β — это коэффициенты эластичности выпуска соответственно по капиталу и труду. Иными словами, они показывают, на сколько процентов изменяется выпуск при изменении капитала (труда) на один процент. Коэффициенты эти положительны, но меньше единицы. Последнее означает, что при росте труда при постоянном капитале (либо капитала при постоянном труде) на один процент производство возрастает в меньшей степени.
Построение изокванты
Приведенная производственная функция говорит о том, что производитель может заменять труд капитаном и капитал трудом, оставляя выпуск неизменным. Например, в сельском хозяйстве развитых стран труд является высокомеханизированным, т.е. на одного работника приходится много машин (капитала). Напротив, в развивающихся странах тот же объем производства достигается за счет большого количества труда при незначительном капитале. Это позволяет построить изокванту (рис. 8.1).
Изокванта (линия равного продукта) отражает все комбинации двух факторов производства (труда и капитала), при которых выпуск остается неизменным. На рис. 8.1 рядом с изоквантой проставлен соответствующий ей выпуск. Так, выпуск , достижим при использовании труда и капитала или с использованием труда и капитана.
Рис. 8.1. Изокванта
Возможны и другие комбинации объемов труда и капитала, минимально необходимых для достижения данного выпуска.
Все комбинации ресурсов, соответствующих данной изокванте, отражают технически эффективные способы производства. Способ производства A является технически эффективным в сравнении со способом В , если он требует использования хотя бы одного ресурса в меньшем количестве, а всех остальных не в больших количествах в сравнении со способом В . Соответственно способ В является технически неэффективным в сравнении с А. Технически неэффективные способы производства не используются рациональными предпринимателями и не относятся к производственной функции.
Из вышесказанного вытекает, что изокванта не может иметь положительный наклон, как это показано на рис. 8.2.
Отрезок, выделенный пунктиром, отражает все технически неэффективные способы производства. В частности, в сравнении со способом А способ В для обеспечения одинакового выпуска () требует того же количества капитала, но большего количества труда. Очевидно, поэтому, что способ B не является рациональным и не может приниматься в расчет.
На основе изокванты можно определить предельную норму технической замены.
Предельная норма технической замены фактора Y фактором X (MRTS XY) — это количество фактора (например, капитала), от которого можно отказаться при увеличении фактора (например, труда) на 1 ед., чтобы выпуск не изменился (остаемся на прежней изокванте).
Рис. 8.2. Технически эффективное и неэффективное производство
Следовательно, предельная норма технической замены капитала трудом исчисляется по формуле
При бесконечно малых измененияхL и K она составляет
Таким образом, предельная норма технической замены есть производная функции изокванты в данной точке. Геометрически она представляет собой наклон изокванты (рис. 8.3).
Рис. 8.3. Предельная норма технической замены
При движении сверху — вниз вдоль изокванты предельная норма технической замены все время убывает, о чем говорит уменьшающийся наклон изокванты.
Если же производитель увеличивает и труд, и капитал, то это позволяет ему достичь большего выпуска, т.е. перейти на более высокую изокванту (q 2). Изокванта, расположенная правее и выше предыдущей, соответствует большему объему выпуска. Совокупность изоквант образует карту изоквант (рис. 8.4).
Рис. 8.4. Карта изоквант
Особые случаи изоквант
Напомним, что приведенные соответствуют производственной функции вида . Но бывают и другие производственные функции. Рассмотрим случай, когда имеет место совершенная замещаемость факторов производства. Допустим, например, что на складских работах можно использовать квалифицированных и неквалифицированных грузчиков, причем производительность квалифицированного грузчика в N раз выше, чем неквалифицированного. Это означает, что мы можем заменить любое количество квалифицированных грузчиков неквалифицированными в соотношении N к одному. И наоборот, можно заменить N неквалифицированных грузчиков одним квалифицированным.
Производственная функция при этом имеет вид: где — число квалифицированных рабочих, — число неквалифицированных рабочих, а и b — постоянные параметры, отражающие производительность соответственно одного квалифицированного и одного неквалифицированного рабочего. Соотношение коэффициентов а и b — предельная норма технической замены неквалифицированных грузчиков квалифицированными. Она постоянна и равнаN : MRTS xy = a/b = N.
Пусть, например, квалифицированный грузчик в состоянии в единицу времени обработать 3 т груза (это будет коэффициент а в производственной функции), а неквалифицированный — только 1 т (коэффициент b). Значит, работодатель может отказаться от трех неквалифицированных грузчиков, дополнительно нанимая одного квалифицированного грузчика, чтобы выпуск (общий вес обработанного груза) при этом остался прежним.
Изокванта в данном случае является линейной (рис. 8.5).
Рис. 8.5. Изокванта при совершенной заменяемости факторов
Тангенс угла наклона изокванты равен предельной норме технической замены неквалифицированных грузчиков квалифицированными.
Еще одна производственная функция — функция Леонтьева. Она предполагает жесткую дополняемость факторов производства. Это означает, что факторы могут использоваться только в строго определенной пропорции, нарушение которой технологически невозможно. Например, авиационный рейс может быть нормально осуществлен при наличии как минимум одного самолета и пяти членов экипажа. При этом нельзя увеличивать самолето-часы (капитал), одновременно сокращая человеко-часы (труд), и наоборот, и сохранять неизменным выпуск. Изокванты в данном случае имеют вид прямых углов, т.е. предельные нормы технической замены равны нулю (рис. 8.6). В то же время можно увеличивать выпуск (количество рейсов), увеличивая в одной и той же пропорции и труд, и капитал. Графически это означает переход на более высокую изокванту.
Рис. 8.6. Изокванты в случае жесткой дополняемости факторов производства
Аналитически такая производственная функция имеет вид: q = min {aK; bL} , где а иb — постоянные коэффициенты, отражающие производительность соответственно капитала и труда. Соотношение этих коэффициентов определяет пропорцию использования капитала и труда.
В нашем примере с авиарейсом производственная функция выглядит так: q = min{1K; 0,2L} . Дело в том, что производительность капитала здесь составляет один рейс на один самолет, а производительность труда — один рейс на пять человек или 0,2 рейса на одного человека. Если авиакомпания располагает самолетным парком в 10 машин и имеет 40 человек летного персонала, то ее максимальный выпуск составит:q = min{ 1 х 8; 0,2 х 40} = 8 рейсов. Два самолета при этом будут простаивать на земле из-за нехватки персонала.
Взглянем, наконец, на производственную функцию, предполагающую существование ограниченного числа производственных технологий для производства заданного количества продукции. Каждой из них соответствует определенное состояние труда и капитала. В результате мы имеем ряд опорных точек в пространстве «труд-капитал», соединив которые, получаем ломаную изокванту (рис. 8.7).
Рис. 8.7. Ломаные изокванты при наличии ограниченного числа производственных методов
На рисунке видно, что выпуск продукции в объемеq 1 можно получить при четырех комбинациях труда и капитала, соответствующих точкам А, B, С иD . Возможны также и промежуточные комбинации, достижимые в тех случаях, когда предприятие совместно использует две технологии для получения определенного совокупного выпуска. Как всегда, увеличив количества труда и капитала, мы переходим на более высокую изокванту.
экономический функция сельский издержки
Для того чтобы описать поведение фирмы, необходимо знать, какое количество продукта она может произвести, используя ресурсы в тех или иных объемах. Мы будет исходить из допущения, что фирма производит однородный продукт, количество которого измеряется в натуральных единицах - тоннах, штуках, метрах и т.д. Зависимость количества продукта, которое может произвести фирма, от объемов затрат ресурсов получила название производственной функции.
Но предприятие может по-разному осуществить производственный процесс, используя разные технологические способы, разные варианты организации производства, так что и количество продукта, получаемое при одних и тех же затратах ресурсов, может быть разным. Руководители фирмы должны отклонить варианты производства, дающие меньший выход продукта, если при тех же самых затратах каждого вида ресурса можно получить больший выход. Точно так же они должны отклонить варианты, требующие больших затрат хотя бы одного ресурса без увеличения выхода продукта и сокращения затрат других ресурсов. Варианты, отклоняемые по этим соображениям, носят название технически неэффективных.
Допустим, ваша фирма производит холодильники. Для изготовления корпуса нужно раскроить листовое железо. В зависимости от того, как будет размечен и раскроен стандартный лист железа, из него можно вырезать больше или меньше деталей; соответственно для изготовления определенного количества холодильников потребуется меньше или больше стандартных листов железа. При этом расход всех остальных материалов, труда, оборудования, электроэнергии останется без изменения. Такой вариант производства, который может быть улучшен путем более рационального раскроя железа, должен быть признан технически неэффективным и отклонен.
Технически эффективными называют варианты производства, которые нельзя улучшить ни увеличением производства продукта без увеличения расхода ресурсов, ни сокращением затрат какого-либо ресурса без снижения выпуска и без увеличения затрат других ресурсов. Производственная функция учитывает только технически эффективные варианты. Ее значение - это наибольшее количество продукта, которое может произвести предприятие при данных объемах потребления ресурсов.
Рассмотрим вначале простейший случай: предприятие производит единственный вид продукции и расходует единственный вид ресурса. Пример такого производства довольно трудно найти в действительности. Даже если рассмотреть предприятие, оказывающее услуги на дому у клиентов без применения какого-либо оборудования и материалов (массаж, репетиторство) и затрачивающее только труд работников, нам пришлось бы допустить, что работники обходят клиентов пешком (не используя услуг транспорта) и договариваются с клиентами без помощи почты и телефона.
Итак, предприятие, затрачивая ресурс в количестве х, может произвести продукт в количестве q. Производственная функция
устанавливает связь между этими величинами. Заметим, что здесь, как и в других лекциях, все объемные величины - это величины типа потока: объем затрат ресурса измеряется количеством единиц ресурса в единицу времени, а объем выпуска - количеством единиц продукта в единицу времени.
На рис. 1 приведен график производственной функции для рассматриваемого случая. Все точки, лежащие на графике, соответствуют технически эффективным вариантам, в частности точки А и В. Точка С соответствует неэффективному, а точка D - недостижимому варианту.
Рис. 1.
Производственная функция вида (1), устанавливающая зависимость объема производства от объема затрат единственного ресурса, может использоваться не только в иллюстративных целях. Она полезна и тогда, когда может изменяться расход лишь одного ресурса, а затраты всех остальных ресурсов по тем или иным причинам должны рассматриваться как фиксированные. В этих случаях интерес представляет зависимость объема производства от затрат единственного переменного фактора.
Значительно большее разнообразие появляется при рассмотрении производственной функции, зависящей от объемов двух потребляемых ресурсов:
q = f(x 1 , x 2), (2)
Анализ таких функций позволяет легко перейти к общему случаю, когда количество ресурсов может быть любым. Кроме того, производственные функции двух аргументов широко используются в практике, когда исследователя интересует зависимость объема выпуска продукта от важнейших факторов - затрат труда (L) и капитала (K):
q = f(L, K), (3)
График функции двух переменных невозможно изобразить на плоскости. Производственную функцию вида (2) можно представить в трехмерном декартовом пространстве, две координаты которого (x 1 и x 2) откладываются на горизонтальных осях и соответствуют затратам ресурсов, а третья (q) откладывается на вертикальной оси и соответствует выпуску продукта (рис. 2). Графиком производственной функции служит поверхность "холма", повышающаяся с ростом каждой из координат x 1 и x 2 . Построение на рис. 1 при этом можно рассматривать как вертикальный разрез "холма" плоскостью, параллельной оси x 1 и соответствующей фиксированному значению второй координаты x 2 = x * 2 .
Рис. 2.
экономический сельский издержки
Горизонтальный разрез "холма" объединяет варианты производства, характеризующиеся фиксированным выпуском продукта q = q* при различных сочетаниях затрат первого и второго ресурсов. Если горизонтальное сечение поверхности "холма" изобразить отдельно на плоскости с координатами x 1 и x 2 , получится кривая, объединяющая такие комбинации затрат ресурсов, которые позволяют получить данный фиксированный объем выпуска продукта (рис. 3). Такая кривая получила название изокванты производственной функции (от греч. isoz - одинаковый и лат. quantum - сколько).
Рис. 3.
Допустим, что производственная функция описывает выпуск продукции в зависимости от затрат труда и капитала. Одно и то же количество продукции можно получить при различных сочетаниях затрат этих ресурсов. Можно использовать небольшое количество машин (т.е. обойтись небольшими затратами капитала), но при этом придется затратить большое количество труда; можно, напротив, механизировать те или иные операции, увеличить количество машин и за счет этого снизить затраты труда. Если при всех таких сочетаниях наибольший возможный объем выпуска остается постоянным, то эти сочетания изображаются точками, лежащими на одной и той же изокванте.
Зафиксировав объем выпуска продукта на другом уровне, мы получим другую изокванту той же самой производственной функции. Выполнив серию горизонтальных разрезов на различных высотах, получим так называемую карту изоквант (рис. 4) - наиболее распространенное графическое представление производственной функции от двух аргументов. Она похожа на географическую карту, на которой рельеф местности изображен горизонталями (иначе - изогипсами) - линиями, соединяющими точки, лежащие на одинаковой высоте.
Нетрудно заметить, что производственная функция во многом похожа на функцию полезности в теории потребления, изокванта - на кривую безразличия, карта изоквант - на карту безразличия. Позже мы убедимся в том, что свойства и характеристики производственной функции имеют много аналогий в теории потребления. И дело тут не в простом сходстве. По отношению к ресурсам фирма ведет себя как потребитель, и производственная функция характеризует именно эту сторону производства - производство как потребление. Тот или иной набор ресурсов полезен для производства постольку, поскольку он позволяет получить соответствующий объем выпуска продукта. Можно сказать, что значения производственной функции выражают полезность для производства соответствующего набора ресурсов. В отличие от потребительской полезности эта "полезность" имеет вполне определенную количественную меру - она определяется объемом производимой продукци.
Рис. 4.
То обстоятельство, что значения производственной функции относятся к технически эффективным вариантам и характеризуют наибольший выпуск продукции при потреблении данного набора ресурсов, также имеет аналогию в теории потребления. Потребитель может по-разному использовать приобретаемые блага. Полезность покупаемого набора благ определяется таким способом их использования, при котором потребитель получает наибольшее удовлетворение.
Однако при всех отмеченных чертах сходства потребительской полезности и "полезности", выражаемой значениями производственной функции, это совершенно разные понятия. Потребитель сам, исходя только из своих собственных предпочтений, определяет, насколько полезен для него тот или иной продукт, - покупая или отвергая его. Набор производственных ресурсов в конечном счете окажется полезным в той мере, в какой будет одобрен потребителем тот продукт, который произведен с использованием этих ресурсов.
Поскольку производственной функции присущи наиболее общие свойства функции полезности, мы можем далее рассмотреть основные ее свойства, не повторяя подробных рассуждений, приведенных во II части.
Будем считать, что увеличение затрат одного из ресурсов при неизменных затратах другого позволяет увеличить выход продукции. Это значит, что производственная функция - возрастающая функция каждого из своих аргументов. Через каждую точку плоскости ресурсов с координатами х 1 ,х 2 проходит единственная изокванта. Все изокванты имеют отрицательный наклон. Изокванта, отвечающая большему выходу продукта, располагается правее и выше изокванты для меньшего выхода. Наконец, все изокванты будем считать выпуклыми в направлении начала координат.
На рис. 5 изображены некоторые карты изоквант, характеризующие различные ситуации, возникающие при производственном потреблении двух ресурсов. Рис. 5,а соответствует абсолютному взаимозамещению ресурсов. В случае, представленном на рис. 5,б, первый ресурс может быть полностью замещен вторым: точки изоквант, расположенные на оси х 2 показывают количество второго ресурса, позволяющее получить тот или иной выход продукта без использования первого ресурса. Использование первого ресурса позволяет сократить затраты второго, но полностью заменить второй ресурс первым невозможно. Рис. 5,в изображает ситуацию, в которой оба ресурса необходимы и ни один из них не может быть полностью замещен другим. Наконец, случай, представленный на рис. 5,г, характеризуется абсолютной взаимодополняемостью ресурсов.
Рис. 5.
Производственная функция, зависящая от двух аргументов, имеет довольно наглядное представление и сравнительно проста для расчетов. Нужно заметить, что в экономике используются производственные функции различных объектов - предприятия, отрасли, национального и мирового хозяйства. Чаще всего это функции вида (3); иногда добавляют третий аргумент - затраты природных ресурсов (N):
q = f(L, K, N), (4)
Это имеет смысл, если количество природных ресурсов, вовлекаемых в производственную деятельность, является переменным.
В прикладных экономических исследованиях и в экономической теории используются производственные функции разных типов. В прикладных расчетах требования практической вычислимости заставляют ограничиться небольшим числом факторов, и эти факторы рассматриваются укрупненно - "труд" без подразделения по профессиям и квалификации, "капитал" без учета его конкретного состава, и т.д. При теоретическом анализе производства можно отвлечься от трудностей практической вычислимости.
Сырье различных сортов должно рассматриваться как различные виды ресурсов, точно так же, как машины различных марок или труд, различающийся по профессиональному и квалификационному признакам. Таким образом, используемая в теории производственная функция - это функция большого числа аргументов:
q = f(x 1 , x 2 ,..., x n), (5)
Такой же подход применялся и в теории потребления, где число видов потребляемых благ никак не ограничивалось.
Все, что было ранее сказано о производственной функции двух аргументов, может быть перенесено и на функцию вида (4), разумеется, с оговорками, касающимися размерности. Изокванты функции (4) - это не плоские кривые, а n-мерные поверхности. Тем не менее мы и в дальнейшем будем пользоваться "плоскими изоквантами" - и в иллюстративных целях, и как удобным средством анализа в случаях, когда затраты двух ресурсов являются переменными, а остальных считаются фиксированными.
Виды производственных функций представлены в таблице 1.
Таблица 1. Виды производственных функци
|
Название ПФ |
Двухфакторная ПФ |
Использование |
|
1. Функция с фиксированными пропорциями факторов (ПФ Леонтьева) |
Предназначена для моделирования строго детерминированных технологий, не допускающих отклонения от технологических норм использования ресурсов на единицу продукции. |
|
|
2. ПФ Кобба- Дугласа |
Используется для описания среднемасштабных объектов (от промышленного объединения до отрасли), характеризующихся устойчивым, стабильным функционированием. |
|
|
3. Линейная ПФ |
Применяется для моделирования крупномасштабных систем (крупная отрасль, н-х в целом), в которых выпуск продукции является результатом одновременного функционирования множества различных технологий. |
|
|
4. ПФ Аллена |
Предназначена для описания производственных процессов, в которых чрезмерный рост любого из факторов оказывает отрицательное влияние на объем выпуска. Обычно используется для описания мелкомасштабных ПС с ограниченными возможностями переработки ресурсов. |
|
|
5. ПФ постоянной эластичности замены факторов (ПЭЗ или CES) |
 Применяется в случаях, когда отсутствует точная информация об уровне взаимозаменяемости производственных факторов и есть основания предполагать, что этот уровень существенно не изменяется при изменении объемов вовлекаемых ресурсов. |
|
|
6. ПФ с линейной эластичностью замены факторов (LES) |
||
|
7. Функция Солоу |
Может использоваться примерно в тех же ситуациях, что и ПФ ПЭЗ, однако предпосылки, лежащие в ее основе, слабее предпосылок ПЭЗ. Рекомендуется, когда предположение об однородности представляется неоправданным. Может моделировать системы любого масштаба. |
Неоклассические модели экономического роста строятся на базе производственной функции и основаны на предпосылках полной занятости, гибкости цен на всех рынках, а также пол ной взаимозаменяемости факторов производства. Попытки исследовать, в какой степени качество факторов производства (их производительность) и различные пропорции в их сочетании воздействуют на экономический рост, привели к созданию модели производственной функции Кобба - Дугласа.
Функция Кобба-Дугласа впервые была предложена Кнутом Уикселлом. В 1928 году проверена на статистических данных Чарльзом Коббом (Charles Cobb) и Паулом Дугласом (Paul Douglas) в работе«A Theory of Production» (mar.,1928).В этой статье была предпринята попытка эмпирическим путем определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объем выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США.
Производственная функция Кобба-Дугласа -- зависимость объема производства Q от создающих его труда L и капитала K.
Общий вид функции:
где А -- технологический коэффициент,
б -- коэффициент эластичности по труду, а
в -- коэффициент эластичности по капиталу.
Впервые Функция Кобба - Дугласа получена в результате математического преобразования простейшей двухфакторной производственной функции y = f(x1, x2), отражающей зависимость между объемом произведенной продукции у и двумя видами ресурсов: материальными x1 (затраты сырья, энергии, транспортные и другие ресурсы) и трудовыми x2. Функция Кобба - Дугласа показывает, какой долей совокупного продукта вознаграждается участвующий в его создании фактор производства.
Таким образом, однозначное количественное определение доли каждого производственного ресурса в конечном продукте затруднительно, так как производство возможно лишь при взаимодействии всех факторов и влияние каждого фактора зависит как от объема его использования, так и от объемов использования других ресурсов.
Построение производственных функций позволяет, пусть не абсолютно точно, определить влияние каждого из ресурсов на результат производства, дать прогноз относительно изменения объема производства при изменениях в объеме ресурсов, определить оптимальную комбинацию ресурсов для получения заданного количества продукции.
Введение …………………………………………………………………………..3
Глава I .4
1.1. Факторы производства……………………………………………………….4
1.2. Производственная функция и её экономическое содержание…………….9
1.3. Эластичность замещения факторов………………………………………..13
1.4. Эластичность производственной функции и отдача от масштаба………16
1.5. Свойства производственной функции и основные характеристики производственной функции……………………………………………………..19
Глава II. Виды производственных функций………………………………..23
2.1. Определение линейно - однородных производственных функций……...23
2.2. Виды линейно-однородных производственных функций………………..25
2.3. Другие виды производственных функций………………………………...28
Приложение……………………………………………………………………..30
Заключение……………………………………………………………………...32
Список используемой литературы…………………………………………...34
Введение
В условиях современного общества ни один человек не может потреблять только то, что он сам производит. Для наиболее полного удовлетворения своих потребностей люди вынуждены обмениваться тем, что они производят. Без постоянного производства благ не было бы потребления. Поэтому большой интерес представляет анализ закономерностей, действующих в процессе производства благ, которые формируют в дальнейшем их предложение на рынке.
Производственный процесс - это основное и первоначальное понятие экономики. Что же понимается под производством?
Каждый знает, что производство благ и услуг на пустом месте невозможно. Для того, чтобы произвести мебель, продукты питания, одежду и другие товары, необходимо иметь соответствующие исходные материалы, оборудование, помещение, клочок земли, специалистов, которые организуют производство. Все, необходимое для организации процесса производства называют факторами производства. Традиционно к факторам производства относят капитал, труд, землю и предпринимательство.
Для организации производственного процесса необходимые факторы производства должны присутствовать в определенном количестве. Зависимость максимального объема производимого продукта от затрат используемых факторов называется производственной функцией .
Глава I . Производственные функции, основные понятия и определения .
1.1. Факторы производства
Материальная основа любой экономики образуется из производства. От того, в какой мере в стране развито производство зависит в целом экономика этой страны.
В свою очередь, источниками любого производства являются ресурсы, которыми располагает то или иное общество. «Ресурсы – наличие средств труда, предметов труда, денег, товаров или людей для использования в настоящее время или в будущем» .
Таким образом, факторы производства, - это совокупность тех природных, материальных, социальных и духовных сил (ресурсов), которые могут быть использованы в процессе создания товаров, услуг и иных ценностей. Другим словами, факторы производства – это то, что оказывает определённое влияние на само производство.
В экономической теории ресурсы принято делить на три группы:
1. Труд – совокупность физических и умственных способностей человека, которые могут использоваться в процессе изготовления товара или оказания услуги.
2. Капитал (физический) – здания, сооружения, станки, оборудование, транспортные средства, необходимые для производства.
3. Природные ресурсы – земля и её недра, водоёмы, леса и т.д. Всё то, что можно использовать в производстве в натуральном, необработанном виде.
Именно наличие или отсутствие в стране факторов производства обуславливает её экономическое развитие. Факторы производства, в какой-то степени, являются потенциалом экономического роста. От того, как эти факторы используются, зависит общее положение дел в экономике страны.
В дальнейшем, развитие теории «трёх факторов» привело к более расширенному определению факторов производства. В настоящее время к ним относят:
2. землю (природные ресурсы);
3. капитал;
4. предпринимательскую способность;
Следует отметить, что все эти факторы тесно взаимосвязаны между собой. Например, производительность труда резко возрастает при использовании результатов научно-технического прогресса.
Таким образом, факторы производства, - это такие факторы, которые оказывают определённое воздействие на сам процесс производства. Так, например, увеличив капитал путем приобретения нового производственного оборудования, можно увеличить объёмы производства и увеличить выручку от реализации продукции.
Необходимо рассмотреть подробнее существующие факторы производства.
Труд есть целесообразная деятельность человека, с помощью которой он преобразует природу и приспосабливает ее для удовлетворения своих потребностей. В экономической теории под трудом как фактором производства подразумеваются любые умственные и физические усилия, прилагаемые людьми в процессе хозяйственной деятельности.
Говоря о труде необходимо остановится на таких понятиях, как производительность труда и интенсивность труда. Интенсивность труда характеризует напряженность труда, которая определяется степенью расходования физической и умственной энергии в единицу времени. Интенсивность труда увеличивается при ускорении работы конвейера, увеличении количества одновременно обслуживаемого оборудования, уменьшении потерь рабочего времени. Производительность труда показывает, какое количество продукции производится на единицу времени.
Для увеличения производительности труда решающую роль играет прогресс науки и техники. Так, например, внедрение в начале ХХ века конвейеров привело резкому скачку производительности труда. Конвейерная организация производства базировалась на принципе дробного разделения труда.
Научно-техническая революция привела к изменениям в характере труда. Труд стал более квалифицированным, физический труд имеет все меньшее значение в процессе производства.
Говоря о земле, как факторе производства, подразумевают не только саму землю как таковую, но и воду, воздух и другие природные ресурсы.
Капитал как фактор производства отождествляется со средствами производства. Капитал состоит из благ длительного пользования, созданных экономической системой для производства других товаров. Другой взгляд на капитал связан с его денежной формой. Капитал, когда он воплощен в еще не инвестированных финансах, есть сумма денег. Во всех этих определениях есть общая идея, а именно капитал характеризуется способностью приносить доход.
Различают физический или основной, оборотный и человеческий капитал. Физический капитал – это материализованный в зданиях, станках и оборудовании капитал, функционирующий в процессе производства несколько лет. Другой вид капитала, включающий сырье, материалы, энергетические ресурсы, расходуется за один производственный цикл. Он носит название оборотного капитала. Деньги, затраченные на оборотный капитал, полностью возвращаются к предпринимателю после реализации продукции. Затраты на основной капитал не могут быть возмещены так быстро. Человеческий капитал возникает как следствие образования, профессиональной подготовки и поддержания физического здоровья.
Предпринимательская способность – особый фактор производства, при помощи которого собираются другие факторы производства в эффективную комбинацию.
Научно-технический прогресс является важным двигателем экономического роста. Он охватывает целый ряд явлений, характеризующих совершенствование процесса производства. Научно-технический прогресс включает в себя совершенствование технологий, новые методы и формы управления и организации производства. Научно-технический прогресс позволяет по-новому комбинировать данные ресурсы с целью увеличения конечного выпуска продукции. При этом, как правило, возникают новые, более эффективные отрасли. Рост эффективности труда становится основным фактором производства.
Но необходимо понимать, что не существует прямой зависимости между факторами производства и объёмом выпускаемой продукции. Например, принимая на работу новых работников, предприятие создаёт предпосылки для выпуска дополнительного объёма продукции. Но в то же время, каждый привлечённый новый работник увеличивает для предприятия затраты по оплате труда. Кроме этого, нет гарантии, что выпущенная дополнительно продукция будет востребована покупателем, и что предприятие получит доход от реализации этой продукции.
Таким образом, говоря о зависимости между факторами производства и объёмом продукции, необходимо понимать, что данная зависимость определяется разумным сочетания этих факторов с учётом имеющегося спроса на выпускаемую продукцию.
Важную роль в понимании проблемы сочетания факторов производства играет так называемая теория предельной полезности и предельных издержек, суть которой заключается в том, что каждая дополнительная единица однотипного блага приносит все меньшую пользу потребителю, и требует возрастания затрат от производителя. Современная теория производства опирается на концепцию убывающей отдачи или предельного продукта и полагает, что все факторы производства взаимозависимо участвуют в создании продукта.
Главной задачей любого предприятия является максимизация прибыли. Один из способов достижения этого - разумное сочетание факторов производства. Но кто может определить, какие пропорции факторов производства приемлемы для того или иного предприятия, той или иной отрасли? Вопрос заключается в том, сколько и каких факторов производства необходимо использовать для получения максимально возможной прибыли.
Именно эта проблема и является одной из проблем, решаемой математической экономикой, а способ её решения - выявление математической зависимости между используемыми факторами производства и объемом выпуска продукции, то есть, в построении производственной функции.
1.2. Производственная функция и её экономическое содержание
Что такое функция с точки зрения математической науки?
Функция – это зависимость одной переменной от другой (других) переменной, выраженная следующим образом:
где х – независимая переменная, а y – зависимая от x функция.
Изменение переменной x ведёт к изменению функции y .
Функция двух переменных выражается зависимостью: z = f(x,y). Трёх переменных: Q = f(x,y,z), и так далее.
Например, площадь круга: S ( r )=π r 2 - есть функция его радиуса, и чем больше радиус, тем больше площадь круга.
Получаем, что производственная функция – это математическая зависимость между максимальным объемом выпуска продукции в единицу времени и комбинацией факторов, его создающих, при имеющемся уровне знаний и технологий. При этом, главная задача математической экономики с практической точки зрения состоит в выявлении этой зависимости, то есть, в построении производственной функции для конкретной отрасли или конкретного предприятия.
В теории производства в основном используют двухфакторную производственную функцию, которая в общем виде записывается следующим образом:
Q = f ( K , L ), (1.1)
При этом такие факторы, как технический прогресс и предпринимательская способность считаются неизменными в относительно коротком промежутке времени и не влияющими на объём выпуска продукции, а фактор «земля» рассматривается вместе с «капиталом».
Производственная функция определяет взаимосвязь выпуска продукции Q с факторами производства: капиталом K, трудом L. Производственная функция описывает множество технически эффективных способов производства заданного объема продукции. Техническая эффективность производства характеризуется использованием наименьшего количества ресурсов при данном объеме производства. Например, способ производства считается более эффективным, если он предполагает использование хотя бы одного ресурса в меньшем, а всех остальных не в большем количестве, чем другие способы. Если же один способ предполагает использование одних ресурсов в большем, а других в меньшем количестве, чем другой способ, тогда эти способы не сравнимы по технической эффективности. В этом случае оба способа рассматриваются как технически эффективные, а для их сравнения используют экономическую эффективность. Наиболее экономически эффективным способом производства данного объема продукции считается тот, при котором затраты на использование ресурсов минимальны.
Графически каждый способ можно представить точкой, координаты которой характеризуют минимальное количество ресурсов L и K, а производственную функцию – линией равного выпуска, или изоквантой. Каждая изокванта представляет множество технически эффективных способов производства определенного объема продукции. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем выпуска она предоставляет. На рисунке 1.1. приведены три изокванты, соответствующие выпуску 100, 200 и 300 единиц продукции, так что можно сказать, что для выпуска 200 единиц продукции необходимо взять либо K 1 единиц капитала и L 1 единиц труда, либо K 2 единиц капитала и L 2 единиц труда, либо какую-то их комбинацию, предоставленную изоквантой Q 2 =200.
Q 3
=300
Рисунок 1.1. Изокванты, представляющие разные уровни выпуска
Необходимо дать определение таким понятиям как изокванта и изокоста.
Изокванта - кривая, представляющая собой всевозможные сочетания двух издержек, обеспечивающих заданный постоянный объем производства (на рисунке 1.1. представлена сплошной линией).
Изокоста - линия, образованная множеством точек, показывающих какое количество сочетающихся факторов производства или ресурсов можно приобрести при имеющихся денежных средствах (на рисунке 1.1. представлена пунктирной линией – касательная к изокванте в точке сочетания ресурсов).
Точка касания изокванты и изокосты – это оптимальное сочетание факторов для конкретного предприятия. Точка касания находится путём решения системы двух уравнений, выражающих изокванту и изокосту.
Основными свойствами производственной функции являются:
1. Непрерывность функции, то есть, её график представляет сплошную, непрерывную линию;
2. Производство не возможно при отсутствии хотя бы одного из факторов;
3. Увеличение затрат любого из факторов при неизменных количествах другого приводит к увеличению выпуска продукции;
4. Можно сохранить выпуск продукции на постоянном уровне, замещая некоторое количество одного фактора дополнительным использованием другого. То есть, уменьшение использования труда можно компенсировать дополнительным использованием капитала (например, приобретая новое производственное оборудование, которое обслуживается меньшим числом работников).
1.3. Эластичность замещения факторов
На основании вышеизложенного можно сделать вывод о том, что основным вопросом производственной функции является вопрос правильной комбинации факторов производства, при которой уровень выпуска продукции будет оптимальный, то есть, приносящий наибольшую прибыль. В целях поиска оптимальной комбинации, необходимо ответить на вопрос: На какую величину надо увеличить затраты одного фактора при снижении затрат другого на единицу. Вопрос соотношения затрат замещающих друг друга факторов производства решается при помощи введения такого понятия, как
Мерой взаимозаменяемости факторов производства служит предельная норма технического замещения MRTS (marginal rate of technical substitution), которая показывает, на сколько единиц можно уменьшить один из факторов при увеличении другого фактора на единицу, сохраняя выпуск неизменным.
Предельную норму технического замещения характеризует наклон изоквант. Более крутой наклон изокванты показывает что, при увеличении количества труда на единицу, нужно будет отказаться от нескольких единиц капитала для сохранения данного уровня производства. MRTS выражается формулой:
MRTS L , K =–DK/DL
Изокванты могут иметь различную конфигурацию.
Линейная изокванты на рисунке 1.2(а) предполагает совершенную замещаемость производственных ресурсов, то есть, данный выпуск может быть получен с помощью либо только труда, либо только капитала, либо с помощью комбинации этих ресурсов.
Изокванта, представленная на рисунке 1.2(б) характерна для случая жесткой дополняемости ресурсов. В этом случае известен лишь один технически эффективный способ производства. Такую изокванту иногда называют изоквантой леонтьевского типа (см. далее), по имени экономиста В.В. Леонтьева, предложившего такой тип изокванты. На рисунке 1.2(в) показана ломаная изокванта, предполагающая наличие нескольких методов производства (P). При этом предельная норма технического замещения при движении вдоль изокванты сверху вниз убывает. Изокванта подобной конфигурации используется в линейном программировании – методе экономического анализа. Ломаная изокванта реалистично представляет производственные возможности современных производств. Наконец, на рисунке 1.2(г) представлена изокванта, предполагающая возможность непрерывной, но не совершенной замещаемости ресурсов.
K а) KQ 2
б)
Рисунок 1.2. Возможные конфигурации изоквант.
1.4. Эластичность производственной функции и отдача от масштаба.
Предельный продукт некоторого ресурса характеризует абсолютное изменение выпуска продукта, приходящегося на единицу изменения расхода данного ресурса, причем изменения предполагаются малыми. Для производственной функции 
предельный продукт i- того ресурса равен частной производной: .
Влияние относительного изменения расхода i-того фактора на выпуск продукта, представленное также в относительной форме, характеризуется частной эластичностью выпуска по затратам этого продукта:
Для простоты будем обозначать . Частная эластичность производственной функции равна отношению предельного продукта данного ресурса к его среднему продукту.
Рассмотрим частный случай, когда эластичность производственной функции по некоторому аргументу – постоянная величина.
Если по отношению к исходным значениям аргументов x 1 , x 2 ,…,x n один из аргументов (i- тый) изменится в один раз, а остальные станутся на прежних уровнях, то изменение выпуска продукта описывается степенной функцией: . Полагая I=1, найдем, что A=f(x 1 ,…,x n), и поэтому .
В общем случае, когда эластичность – переменная величина, равенство (1) является приближенным при значениях I, близких к единице, т.е. при I=1+e, и тем более точным, чем ближе e/к нулю.
Пусть теперь затраты всех ресурсов изменились в I раз. Последовательно применяя только что описанный прием к x 1 , x 2 ,…,x n , можно убедиться в том, что теперь
Сумма частных эластичностей некоторой функции по всем ее аргументам получила название полной эластичности функции. Вводя обозначение для полной эластичности производственной функции, мы можем представить полученный результат в виде
Равенство (2) показывает, что полная эластичность производственной функции позволяет дать отдаче от масштаба числовое выражение. Пусть расход всех ресурсов немного увеличился с сохранением всех пропорций (I>1). Если E>1, то выпуск продукции увеличился больше, чем в I раз (возрастающая отдача от масштаба), а если E<1, то меньше, чем в I раз. При E=1 выпуск продукции изменится в той же самой пропорции, что и затраты всех ресурсов (постоянная отдача).
Выделение короткого и длительного периодов при описании характеристик производства – грубая схематизация. Изменение объемов потребления различных ресурсов – энергии, материалов, рабочей силы, станков, зданий и т. д. – требует различного времени. Допустим, что ресурсы перенумерованы в порядке убывания подвижности: быстрее всего можно изменить x 1 , а затем x 2 и т. д., а изменение x n требует наибольшего времени. Можно выделить сверхкороткий, или нулевой период, когда не может измениться ни один фактор; 1-й период, когда изменяется только x 1; 2-й период, допускающий изменение x 1 и x 2 и т.д.; наконец, длительный, или n-й период, в течении которого могут измениться объемы всех ресурсов. Различных периодов, таким образом, оказывается n+1.
Рассматривая некоторый промежуточный по величине, k-й период, мы можем говорить о соответствующей этому периоду отдачи от масштаба, имея в виду пропорциональное изменение объемов тех ресурсов, которые в этом периоде могут изменяться, т.е. x 1 , x 2 ,…, x k . Объемы x k +1 , x n , при этом сохраняют фиксированные значения. Соответствующий этому показатель отдачи от масштаба равен e 1 +e 2 +…+e k .
Удлиняя период, мы добавляем к этой сумме следующие слагаемые, пока не получится значение E для длительного периода.
Поскольку производственная функция возрастает по каждому аргументу, все частные эластичности e 1 положительны. Отсюда следует, что чем продолжительнее период, тем больше отдача от масштаба.
1.5. Свойства производственной функции
Для каждого вида производства может быть построена своя производственная функция, тем не менее каждая из них будет обладать следующими фундаментальными свойствами:
1. Существует предел роста объема производства, который достигается посредством увеличения использования одного ресурса при прочих равных параметрах. Примером может служить невозможность увеличения объема производства (при достижении конкретного его значения) на определенном предприятии за счет привлечения новых работников при заданных основных фондах. Можно достичь такой точки, когда каждый отдельный работник не будет обеспечен средствами труда для работы, рабочим местом, его присутствие явится помехой другим занятым, и прирост производства от найма этого предельного работника будет приближаться к нулю или даже станет отрицательным.
2. 
Есть определенная взаимная дополняемость (комплементарность) факторов производства, но без сокращения объема производства возможна и определенная взаимная их заменяемость. Например, для получения данного урожая определенный размер посевной площади может быть обработан большим числом рабочих вручную, без применения удобрений и современных средств производства. На этом же участке для производства необходимого количества урожая может трудиться несколько работников, использующих сложные машины и разнообразные удобрения. Следует отметить, что при условии взаимодополнения ни один из традиционных ресурсов (земля, труд, капитал) не может быть полностью вытеснен другими (не будет взаимодополнения). Механизм же взаимозамещения действует на противоположной посылке: некоторый вид ресурса может быть замещен другим. Взаимодополнение и взаимозамещение имеют противоположную направленность. Если взаимодополнение требует обязательного наличия всех ресурсов, то взаимозамещение в своей крайней форме может привести к полному исключению некоторого из них.
Анализ производственной функции предполагает необходимость разграничения краткосрочного и долгосрочного периодов времени. В первом случае имеется в виду такой временной интервал, в течение которого объем производства может регулироваться только при помощи изменения количества используемых переменных факторов, в то время как постоянные затраты остаются неизменными. Факторы производства, затраты которых неизменны в краткосрочном периоде времени, называются постоянными.
Соответственно факторы производства, размер которых изменяется в краткосрочном периоде - переменные. Долгосрочный период времени рассматривается как интервал, который достаточен для того, чтобы предприятие могло изменить затраты всех факторов производства. Это означает, что в данном случае не существует пределов для роста объема производства и все факторы становятся переменными. В наиболее общем виде различия краткосрочного и долгосрочного интервалов могут быть сведены к следующему.
Во-первых, это касается условий хозяйствования. В краткосрочном периоде значительное расширение объема производства невозможно, ограничивается имеющимися производственными мощностями фирмы. В длительном периоде фирма имеет больше свободы в отношении увеличения объемов выпуска, поскольку все факторы производства становятся переменными.
Во-вторых, необходимо учитывать специфику издержек производства. Краткосрочный период характеризуется наличием как постоянных, так и переменных издержек производства, в долгосрочном периоде все издержки становятся постоянными.
В-третьих, краткосрочный период предполагает постоянство фирм, работающих в данной отрасли. В долгосрочном периоде имеется реальная возможность выхода или вступления в отрасль новых конкурентов.
В-четвертых, следует определить возможности извлечения экономической прибыли в рассматриваемые периоды. В условиях долгосрочного периода экономическая прибыль равна нулю. В краткосрочном периоде экономическая прибыль может быть как положительной, так и отрицательной.
ПФ удовлетворяет следующему ряду свойств:
1) без ресурсов нет выпуска, т.е. f(0,0,a)=0;
2) при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска, т.е. ;
3) с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет;
4) с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет, т.е. если x>0, то 
;
5) с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности), т.е. если то ;
6) при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает, т.е. если x>0, то 
;
7) ПФ является однородной функцией, т.е. ; при р>1 имеем рост эффективности производства от роста масштаба производства; при р<1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства; при р=1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба.
Глава II . Виды производственных функций
2.1. Определение линейно - однородных производственных функций
Производственная функция называется однородной степени n, если при умножении ресурсов на некоторое число k полученный объем производства будет в kn раз отличаться от первоначального. Условия однородности производственной функции записывается следующим образом:
Q = f (kL, kK) = knQ
Например, в день затрачивается 9 часов труда (L) и 9 часов работы машин (К). Пусть при данном сочетании факторов L и Kфирма может производить в день продукции на сумму 200 тыс. рублей. В этом случае производственная функция Q = F(L,K) будет представлена следующим равенством:
Q = F(9; 9) = 200 000, где F – определённого вида алгебраическая формула, в которую подставляются значения L и T.
Допустим, фирма принимает решение увеличить работу капитала и применение труда в два раза, что приводит к росту объёма выпускаемой продукции до 600 тыс. рублей. Получаем, что умножение факторов производства на 2 приводит к увеличению объёма производства в 3 раза, то есть, используя условия однородности производственной функции:
Q = f (kL, kK) = knQ, получаем:
Q = f (2L, 2K) = 2×1,5×Q, то есть, в данном случае мы имеем дело с однородной производственной функцией степени 1,5.
Показатель степени n называется степенью однородности.
Если n = 1, то говорят, что функция однородна первой степени или линейно однородна. Линейно однородная производственная функция представляет интерес тем, что для нее характерна постоянная отдача, то есть, при увеличении факторов производства объём выпускаемой продукции постоянно увеличивается в одинаковой мере.
Если n>1, то производственная функция демонстрирует возрастающую отдачу, то есть, рост факторов производства ведёт к ещё большему росту объёма производства (например: увеличение факторов в два раза ведёт к увеличению объёма в 2 раза; в 3 раза – к увеличению в 6 раз; в 4 раза – к увеличению в 12 раз и т.д.) Если n<1, то производственная функция демонстрирует убывающую отдачу, то есть, рост факторов производства ведёт к уменьшению отдачи по росту объёмов производства (например: увеличение факторов в 2 раза – ведёт к увеличению объемов в 2 раза; увеличение факторов в 3 раза – к увеличению объёмов в 1,5 раз; увеличение факторов в 4 раза – к увеличению объёмов в 1,2 раза и т.д.).
2.2. Виды линейно-однородных производственных функций
Примерами линейно однородных производственных функций являются производственная функция Кобба-Дугласа и производственная функция с постоянной эластичностью замещения.
Впервые производственная функция была рассчитана в 1920-е годы для обрабатывающей промышленности США экономистами Коббом и Дугласом. Исследования Пола Дугласа в сфере обрабатывающей промышленности США и последующая их обработка Чарльзом Коббом привели к появлению математического выражения, описывающего влияние применения труда и капитала на выработку продукции в обрабатывающей отрасли, в виде равенства:
Ln(Q) = Ln(1,01) + 0,73×Ln(L) + 0.27×Ln(K)
В общем виде производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:
Q = AK α L β ν
lnQ = lnA + α lnK + βlnL + lnν
Если α+β<1, то наблюдается убывающая отдача от масштабов использования факторов производства (рис. 1.2.в). Если α+β=1, то существует постоянная отдача от масштабов использования факторов производства (рис. 1.2.а). Если α+β>1, то наблюдается возрастающая отдача от масштабов использования факторов производства (рис. 1.2.б).
В производственной функции Кобба-Дугласа степенные коэффициенты α и β в сумме выражают степень однородности производственной функции:
Предельная норма технического замещения капитала трудом при данной технологии определяется по формуле:
׀MRTS L , K ׀ =
Если внимательно посмотреть на функцию Кобба-Дугласа для обрабатывающей промышленности США, рассчитанную в 1920-е годы, то можно ещё раз, уже на конкретном примере отметить, что производственная функция является математическим выражением (через определённую алгебраическую форму) зависимости объёмов производства (Q) от объёмов использования факторов производства (Lи K). Так, придавая конкретные значения переменным L и K можно определить предполагаемые объёмы выпуска продукции (Q) для обрабатывающей промышленности США в 1920-е годы.
Эластичность замещения в производственной функции Кобба-Дугласа всегда равна 1.
Но производственная функция Кобба-Дугласа имела некоторые недостатки. Для преодоления ограничения функции Кобба-Дугласа, которая всегда является однородной в первой степени, в 1961 г. несколькими экономистами (К. Эрроу, Х. Ченери, Б. Минхас и Р. Солоу) была предложена производственная функция с постоянной эластичностью замещения. Это линейно однородная производственная функция с постоянной эластичностью замещения ресурсов. Позже была предложена и производственная функция с переменной эластичностью замещения. Она представляет собой обобщение производственной функции с постоянной эластичностью замещения, допускающее изменение эластичности замещения с изменением отношения между затрачиваемыми ресурсами.
Линейно однородная производственная функция с постоянной эластичностью замещения ресурсов имеет следующий вид:
Q = а -1/b ,
Эластичность замещения факторов для данной производственной функции определяется формулой:
2.3. Другие виды производственных функций
Другим видом производственной функции является линейная производственная функция, которая имеет следующий вид:
Q(L,K) = aL + bK
Данная производственная функция является однородной первой степени, следовательно, она имеет постоянную отдачу от масштабов производства. Графически данная функция представлена на рисунке 1.2, а.
Экономический смысл линейной производственной функции состоит в том, что она описывает такое производство, в котором факторы являются взаимозаменяемыми, то есть, не имеет значения – использовать только труд или только капитал. Но в реальной жизни такая ситуация практически не возможна, так как любая машина все равно обслуживается человеком.
Коэффициенты a и b функции, которые находятся при переменных L и Kпоказывают пропорции, в которых один фактор может быть замещён другим. Например, если a=b=1, то это значит, что 1 час труда может быть заменен 1 часом машинного времени для того, чтобы произвести такой же объём продукции.
Q(L,K) = min{; },
Если, например, на каждом автобусе дальнего следования должно быть два водителя, то при наличии в автобусном парке 50 автобусов и 90 водителей одновременно могут обслуживаться только 45 маршрутов:
min{90/2;50/1} = 45.
Приложение
Примеры решения задач с использованием производственных функций
Задача 1
Фирма, занимающаяся речными перевозками, использует труд перевозчиков (L) и паромы (K). Производственная функция имеет вид 
. Цена единицы капитала равна 20, цена единицы труда равна 20. Каков будет наклон изокосты? Какое количество труда и капитала должна привлечь фирма для осуществления 100 перевозок?
3. капитал;
4. предпринимательская способность;
5. научно-технический прогресс.
Все эти факторы тесно взаимосвязаны между собой.
Производственная функция – это математическая зависимость между максимальным объемом выпуска продукции в единицу времени и комбинацией факторов, его создающих, при имеющемся уровне знаний и технологий. При этом главная задача математической экономики с практической точки зрения состоит в выявлении этой зависимости, то есть, в построении производственной функции для конкретной отрасли или конкретного предприятия.
В теории производства в основном используют двухфакторную производственную функцию, которая в общем виде выглядит так:
Q = f ( K , L ), где Q - объем производства; К - капитал; L – труд.
Вопрос соотношения затрат замещающих друг друга факторов производства решается при помощи такого понятия, как эластичность замещения факторов производства.
Эластичность замещения – это соотношение затрат замещающих друг друга факторов производства при неизменном объёме выпуска продукции. Это своего рода коэффициент, который показывает степень эффективности замещения одного фактора производства другим.
Мерой взаимозаменяемости факторов производства служит предельная норма технического замещения MRTS, которая показывает, на сколько единиц можно уменьшить один из факторов при увеличении другого фактора на единицу, сохраняя выпуск неизменным.
Изокванта - кривая, представляющая собой всевозможные сочетания двух издержек, обеспечивающих заданный постоянный объем производства.
Денежные средства как правило ограничены. Линия, образуемая множеством точек, показывающих какое количество сочетающихся факторов производства или ресурсов можно приобрести при имеющихся денежных средствах, называется изокостой. Таким образом, оптимальным сочетанием факторов для конкретного предприятия является общее решение уравнений изокосты и изокванты. Графически – это точка касания линий изокосты и изокванты.
Производственная функция может быть записана в самых различных алгебраических формах. Как правило, экономисты работают с линейно однородными производственными функциями.
В работе также были рассмотрены конкретные примеры решения задач с применением производственных функций, которые позволили сделать вывод о их большой практической значимости в экономической деятельности любого предприятия.
Список используемой литературы
1. Доугерти К. Введение в эконометрику. – М.: Финансы и статистика, 2001.
2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.П. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: Изд. «ДИС», 1997.
3. Курс экономической теории: учебник. – Киров: «АСА», 1999.
4. Микроэкономика. Под ред. Проф. Яковлевой Е.Б. – М.: СПб. Поиск, 2002.
5. Салманов О. Математическая экономика. – М.: BHV, 2003.
6. Чураков Е.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике. – М.: Финансы и статистика, 2004.
7. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. – М.: Юнити-Дана, 2000.
Большой коммерческий словарь./Под редакцией Рябовой Т.Ф. – М.: Война и мир, 1996. С. 241.
В самом общем виде производство можно определить как деятельность, направленную на преобразование свободных и экономических ресурсов в продукты и услуги. Традиционно выделяются три основные системы производства - заказное, массовое (гибкое инегибкое) ипоточное производство. Первая система предполагает производство по индивидуальным заказам уникального продукта (атомная электростанция, мост). Массовое производствоопределяется как производство большими или небольшими партиями многих видов изделий из однотипных и стандартизированных комплектующих. Выделяют две разновидности массового производства: негибкое и гибкое. Суть негибкого массового производства прекрасно отражена в шутливой фразе Генри Форда: «Потребитель может пожелать машину любого цвета, если этот цвет черный». Гибкое массовое производство предполагает множество комбинаций стандартных комплектующих. Поточноепроизводствохарактеризуется непрерывным потреблением сырья и непрерывным потоком продукции (предприятия химической промышленности, молокоперерабатывающие предприятия).
Способ соединения ресурсов для производства запланированного объема товаров называется технологией производства . Критерием выбора той или иной технологии является эффективность производства. Принято различать экономическую итехнологическуюэффективность производства. Технологическая эффективностьхарактеризует зависимость между используемыми ресурсами и получаемой продукцией в натуральном выражении. Технологическая эффективность конкретного способа производства оценивается двояко: по максимуму выпуска при данной комбинации ресурсов; по минимуму количества ресурсов, обеспечивающих данный объем выпуска.
Экономическая эффективность характеризует стоимостную зависимость между расходами фирмы на оплату факторов производства (издержками) и доходами фирмы (выручкой). Способ производства является экономически эффективным, если он обеспечивает минимальную альтернативную стоимость используемых в производстве ресурсов, то есть экономическая прибыль равна нулю или положительная величина. Выбор фирмой экономически эффективной технологии зависит от сложившихся на данный момент цен на ресурсных рынках. Изменение цен на ресурсы и/или на продукцию фирмы может сделать ранее выбранный способ производства экономически неэффективным.
Технологическая зависимость между количеством ресурсов, затрачиваемых фирмой в единицу времени, и максимально возможным объемом выпускаемой продукции называют производственной функцией:
Рассмотрим следующий пример: на одной фирме из тонны металла делают 730 изделий, на другой – 800 изделий. Как будет выглядеть производственная функция?
Производственная функция, подобно любой другой функции, может быть записана в виде таблицы, уравнения или представлена графиком. Разработано много функций производства, но чаще всего это двухфакторные функции, которые имеют графическое представление. Среди двухфакторных функций наибольшую известность получила функция Кобба-Дугласа:
Все ресурсы, используемые фирмой в процессе производства, условно разделяют на условно-постоянные и переменные. Ресурсы, количество которых не зависит от объема выпуска, является неизменным, относятся к условно-постоянным. Это арендная плата, охрана и отопление. Ресурсы, количество которых связано прямой пропорциональной связью с объемом выпуска, называются переменными. Это электроэнергия, сырьё, труд.
Деление факторов производства на условно-постоянные и переменные позволяет выделить краткосрочный и долгосрочный периоды в деятельности фирмы. Период, в течение которого фирма в состоянии изменить лишь часть ресурсов (переменные), а другая часть остается неизменной (постоянные), называется краткосрочным. Продолжительность рассматриваемых периодов может существенно варьироваться в зависимости от отрасли.
Вопрос 38 . Краткосрочный период производства: убывающая отдача
Для анализа производства в краткосрочном периоде рассмотрим краткосрочную функцию производства, предполагающую наличие у фирмы условно-постоянных (K) и переменных ресурсов (L): Q = f(K,L). Для упрощения анализа предположим, что фирма использует всего два ресурса: труд L и капитал К. Целью анализа организации производства является нахождение оптимальной пропорции между ресурсами, что в краткосрочном периоде реализуется в виде ответа на вопрос: сколько следует приобрести переменного ресурса при известном количестве условно-постоянного ресурса?
В ведем новые понятия: совокупный, средний и предельный продукты.
♦ совокупный продукт (total product, TP) - общий объем произведенных фирмой товаров и услуг за единицу времени;
♦ средний продукт (average product, АР) - совокупный продукт на единицу использованного ресурса. Различают средний продукт по переменному ресурсу AP L = TP/L и средний продукт по постоянному фактору АР К = ТР/К;
♦ предельный продукт (marginal product, MP) - величина прироста совокупного продукта при изменении используемого ресурса на единицу. Помним, что в краткосрочном периоде изменяться может лишь труд.
Предельный продукт труда, MP L рассчитывается по двум возможным формулам. Если производственная функция неизвестна, то рассчитывают дискретный предельный продукт труда: MP L = ∆Q / ∆L.
Если же производственная функция известна, то рассчитывают непрерывный предельный продукт труда: MP L = dQ/dL=Q"(L).
Приведем способ расчета базовых производственных показателей для цеха, в котором установлены 5 станков (табл. 5.1).
5.1. Расчет среднего и предельного продуктов переменного ресурса
| L, человек | TP, тыс. штук | AP L , тыс. штук | MP L , тыс. штук |
| -5 | |||
| -42 |
Представим полученные результаты графически (рис. 5.1). Как видим, производственный процесс, отраженный в производственной функции, проходит три этапа: возрастающей, убывающей и отрицательной отдачи. Из графика видно, что совокупный продукт достигает максимума при таких затратах переменного ресурса, когда предельный продукт равен нулю. Закон убывающей отдачи гласит, что начиная с некоторого момента дополнительное использование переменного ресурса при неизменном количестве постоянного ресурса ведет к сокращению его предельной отдачи, или предельного продукта. Этот закон носит универсальный характер. Его самый знаменитый пример – это закон убывающего плодородия, который совместно с законом народонаселения Томаса Мальтуса дал основание называть в XIX веке политэкономию «мрачной наукой».
Сформулируйте причину, в силу которой производство на отдельном предприятии никогда не достигает возможного максимума? Сформулируйте правило, по которому предприятие определяет количество затраченного переменного ресурса и, соответственно, пропорцию между условно-постоянным и переменным ресурсами, а также объем выпуска продукции? Предположим, что зарплата 1 работника 20 тысяч рублей, а цена единицы продукции (за минусом стоимости материалов) 1 рубль. Тогда цена труда 1 работника, выраженная в единицах продукции, составит 20 тысяч штук. Поэтому 7-го работника руководитель фирмы нанимать не должен.
Вопрос 39.Долгосрочный период производства: изокоста и изокванта
В долгосрочном периоде все факторы производства являются переменными. Чтобы определить, какая из доступных технологий будет экономически эффективной, рассмотрим модель изокванты и изокосты.
Изоквантапоказывает совокупность всех комбинаций факторов производства, обеспечивающих заданный объем выпуска. Если отложить по горизонтальной оси единицы труда, по вертикальной – единицы капитала, затем обозначить точки, в которых фирма выпускает один и тот же объем, то получится линия изокванты (IQ, «изо» - равный, «кванта» - количество). Набор изоквант, характеризующий данную производственную функцию, называется картой изоквант. Угол наклона линии изокванты характеризуется коэффициентом предельной нормы технологического замещения(Marginal Rate of Technical Substitution, MRTS).
MRTS капитала по труду показывает, сколько единиц капитала необходимо для замещения выбытия единицы труда или сколько единиц капитала можно сэкономить при увеличении затрат труда на единицу, чтобы объем выпуска не изменился: MRTS L K = dK/dL=K"(L ). На рисунке 5.3 это соответствует изображению труда по оси абсцисс (независимая переменная), а капитала – на оси ординат (зависимая переменная). Сокращение выпуска в результате уменьшения затрат капитала (ΔК= К 2 - К 1) компенсирует увеличение выпуска за счет дополнительного количества труда (ΔL = L 2 - L 1) , так что в итоге выпуск не меняется.
Если поменять расположение ресурсов на осях, то соответственно можно будет рассчитать MRTS труда по капиталу: MRTS K L = dL /dK = L"(K ).
Задача. Производственный процесс характеризуется функцией Q = 10KL. На производстве занято 5 чел. Требуется оценить норму замещения одного работника дополнительным количеством оборудования так, чтобы объем выпуска сохранился на уровне Q = 500 ед. продукции в день.
Решение. Q = 10*K*L = 500
K = 500/L = 50*L -1
MRTS L K = K"(L) = (50*L -1)" = -50* L -2
При L = 5, MRTS L K = -50/25 = -2.
Экономический смыслполученного коэффициента: для сохранения объема производства сокращение рабочих на единицу должно быть компенсировано увеличением объема использованного оборудования (капитала) на 2 единицы и, наоборот, рост числа рабочих на единицу позволяет уменьшить количество капитала на 2 единицы.
Задача (продолжение). Если фирма последовательно увеличивает число занятых на производстве работников, то это сопровождается сокращением абсолютной величины предельной нормы замещения:
при L = 6 чел. MRTS L K = –50/36 = –1,39;
при L = 7 чел. MRTS L K = –50/49 = –1,02;
при L = 10 чел. MRTS L K = –50/100 = –0,5.
При перемещении вниз по кривой абсолютное значение MRTS L K убывает, так как равные дополнительные порции труда позволяют экономить всё уменьшающиеся порции оборудования (рисунок 5.3). В дальнейшем MRTS достигает нулевого значения, а изокванта приобретает горизонтальный вид.
Наличия карты изоквант, однако, недостаточно для ответа на вопрос, какой набор труда и капитала оптимальный, поскольку неизвестны цены ресурсов. Карта изоквантсодержит совокупность технологически возможных комбинаций ресурсов, обеспечивающих фирме соответствующие объемы выпуска. Однако при выборе оптимальной комбинации ресурсов производитель должен учитывать не только доступную ему технологию, но и свои финансовые ресурсы, а также цены на факторы производства.
Совокупность двух последних факторов определяет область доступных производителю экономических ресурсов. Бюджетное ограничение производителя может быть записано в виде неравенства: Р К К + P L L < ТС,
где Р к, P L - цена капитала и труда; К, L - количество капитала и труда;
ТС (total cost) – совокупные расходы фирмы на приобретение ресурсов.
Если производитель полностью расходует свои средства, то мы получаем уравнение изокосты: P k K + P L L = TC или K = TC/P k – (P L /Pk)*L. Из курса математики известно, что уравнение прямой линии: y=a+bx, где коэффициент b характеризует угол наклона прямой линии. Соответственно, угол наклона иозосты количественно характеризуется как «– P L /Pk».
Линия изокосты (рис. 5.5) содержит набор комбинаций экономических ресурсов, которые фирма может приобрести с учетом рыночных цен на ресурсы и при полном использовании своего бюджета.
Оптимальная комбинация ресурсов, обеспечивающая минимимальный уровень совокупных издержек, лежит в точке касания изокосты и изокванты и предполагает выполнение двух условий (рис. 5.6). Во-первых, полное использование финансовых средств, а во-вторых, их распределение между ресурсами, при котором предельная норма технологического замещения одного ресурса другим равнялась бы отношению их цен: MRTS L K = –P L /P K .
MRTS определяет возможность технологического замещения капитала трудом. Отношение цен отражает экономическую способность производителя замещать капитал трудом. Пока эти возможности не сравняются, изменения в соотношении используемых ресурсов будут вести к увеличению объемов выпуска или к уменьшению совокупных издержек фирмы. Условие минимизации издержек выглядит: MP L /P L = MP K /P K . Фирма должна распределить средства так, чтобы получить одинаковый прибавочный продукт на рубль, затраченный на приобретение каждого ресурса.
Совокупность точек оптимума производителя, построенных для изменяющегося объема производства дает траекторию долгосрочного развития фирмы (рис. 5.7).
Форма траектории развития позволяет выделить капиталоемкие, трудоемкие, а также смешанные технологии. К какой технологии относится траектория развития на рисунке 5.7? Как будут выглядеть траектории долгосрочного развития для других типов технологий?
Теория производства изучает соотношения между количеством применяемых ресурсов и объемом выпуска. Методологически теория производства тождественна теории потребления с тем отличием, что основные ее категории имеют объективную природу и могут быть измерены в определенных единицах выпуска. Процесс производства тождествен процессу потребления в том смысле, что может определяться как потребление экономических ресурсов. Рациональный производитель, как и рациональный потребитель, стремиться к максимизации полезности- прибыли. Для этой цели он комбинирует ресурсы наиболее эффективным образом.
Основным инструментом анализа производства является производственная функция, которая описывает количественную зависимость между выпуском продукции и затратами ресурсов (труда и капитала). Один и тот же объем выпуска может быть достигнут при различных комбинациях ресурсов (технологиях). Максимально возможный объем производства, достигаемый в результате использования имеющихся ресурсов, считается технически эффективным . Таким образом, производственная функция отражает множество технически эффективных способов производства при заданном объеме выпуска.
Выбор наилучшего, из множества технически эффективных вариантов, предполагает использование критерия экономической эффективности . Экономически эффективным считается способ производства с наименьшими издержками при заданном объеме выпуска.
В теории производства традиционно используется двухфакторная производственная функция, в которой объем выпуска (Q) находиться в зависимости от объема используемых ресурсов:
Q = f (L, K ) (5.1)
где L -величина затрат труда(час.);
K -величина затрат капитала(станко-час)
Наиболее распространенный вариант производственной функции функция Кобб-Дугласа:
Q= L a K b (5.2)
где а - коэффициент эластичности выпуска по труду, который показывает как измениться выпуск при изменении затрат труда на 1%;
b -коэффициент выпуска по капиталу, показывающий изменение выпуска при изменении затрат капитала на 1%.
Эмпирически по данным обрабатывающей промышленности США в 20-е г. прошлого столетия были определены конкретные значения коэффициентов a и b , таким образом, что функция имела вид:
Q=L 0,73 K 0,27
Характерным моментом является тот факт, что функция может использоваться для анализа выпуска как на отдельном предприятии, так и в целом по экономике, то есть на макро-уровне. Существуют также и другие виды производственных функций (табл.5.1.).
Графически производственная функция может быть представлена кривой равного выпуска (изоквантой), представляющей множество минимально необходимых комбинаций производственных ресурсов или технически эффективных способов производства определенного объема продукции. Чем дальше от начала координат расположена изокванта, тем больший объем выпуска она представляет. При этом в отличие от кривых безразличия каждая изокванта характеризует количественно определенный объем выпуска, выраженный в натуральных единицах: Q 1 , Q 2 , Q 3 и т.д.
Рисунок 5.1. Линия равного выпуска - изокванта.
Конфигурация изоквант может быть различной, с учетом особенностей применяемых технологий, а следовательно взаимозамещаемости применяемых ресурсов. Если замещаемость ресурсов ограничена несколькими технологиями, то применяется ломаная изокванта (рис.5.1). По мнению специалистов ломаная изокванта наиболее адекватно отражает зависимость выпуска от ресурсов, так как реальное производство предполагает ограниченный набор вариаций технологий. В случае жесткой дополняемости ресурсов, когда применяется единственная технология, применяется изокванта леонтьевского типа, по имени американского экономиста В.В. Леонтьева, который положил такой тип изокванты в основу разработанного им метода затраты-выпуск. Чем более технически сложным является производство, тем ближе его изокванта к изокванте леонтьевского типа.
Линейная изокванта предполагает совершенную замещаемость производственных ресурсов, так что данный выпуск может быть получен с помощью либо одного, либо другого ресурса, либо с использованием различных комбинаций того и другого ресурса при постоянной норме их замещения. Существует, например постоянное соотношение между количеством женского и мужского труда (если рассматривать их как взаимозамещаемые ресурсы), трудом мигрантов в соотношении с трудом местных работников, руководителями и специалистами.
В микроанализе используются гладкие изокванты, которые можно рассматривать как некую приближенную аппроксимацию ломаной изокванты. Увеличивая число методов производства (точек излома), можно воспроизвести ломаную изокванту в виде гладкой кривой. Соответственно отображаемая ею производственная функция вида (5.2) предполагается непрерывной и дважды дифференцируемой. Построение гладкой изокванты предполагает неограниченную делимость продукции и применяемых в производстве ресурсов.
Разнообразие кривых выпуска отражает существование раз
Изокванта имеет три основные характеристики: предельную норму технического замещения одного ресурса другим(MRTS LK ), эластичности замещения ресурсов, интенсивность их использования в производстве. Первая характеристика- MRTS LK (marginal rate of technical substitution - англ.) определяет требуемое количество потерь одного ресурса ( K) взамен единицы другого( L) при сохранении того же объема выпуска.
Предельная норма замещения характеризуется наклоном изокванты для любого объема выпуска, равно как и кривая безразличия. Увеличение использования одного из ресурсов(например дешевого труда) ведет к снижению MRTS LK . Можно найти этому логическое объяснение.
Вдоль изокванты полный дифференциал производственной функции (полное приращение) равен нулю, поскольку изменение выпуска не происходит.:
Отсюда получаем новое выражение для предельной нормы технологической замены:
(5.5)
dQ/dL = MPL - предельный продукт труда;
dQ/dK = MPK - предельный продукт капитала.
Следовательно, получаем : MRTS LK =
В соответствии с законом убывающей отдачи фактора производства дополнительное использование труда ведет к падению его предельного продукта труда. Капитал же становится относительно редким, следовательно, его ценность (предельный продукт) возрастает. Поэтому предельная норма технологической замены сокращается по мере роста использования труда в производстве при одном и том же выпуске. В случае жесткой взаимодополняемости ресурсов, норма замещения равна нулю. Для ресурсов- абсолютных субститутов норма замещения постоянна.
Предельная норма замещения зависит от единиц, в которых измеряются объемы применяемых ресурсов. Такого недостатка нет у показателя эластичности замещения. Он показывает, как должно измениться отношение между количествами ресурсов, чтобы предельная норма замещения изменилась на 1 %. Показатель эластичности замещения не зависит от единиц, в которых измеряются L и K , поскольку и числитель, и знаменатель (5.6) представлены относительными величинами.
Эластичность замещения (E) определяется как процентное изменение в предельной норме технического замещения:
E = % / % (5.6)
Показатель интенсивности применения различных ресурсов в конкретном производстве характеризуется коэффициентом капиталовооруженности (K/L). Графически он соответствует наклону линии роста (рис. 5.1) для различных технологии (Т1, T2, T3 ). Линии роста характеризуют технически возможные пути расширения производства, перехода с более низкой на более высокую изокванту. Среди возможных линий роста особое место занимают изоклинали , вдоль которых предельная норма технического замещения ресурсов при любом объеме выпуска постоянна. Для однородной производственной функции изоклиналь представляется лучом, проведенным из начала координат, вдоль которого предельная норма технического замещения и соотношение K/L имеют одно и то же значение.
Таблица 5.1. Виды производственных функций
Loading...